Уравнение a³ - b² = p (p - простое)

[mathpath]

Есть теорема Пиллаи, которая говорит о том, что для любого p число решений конечно.
Известно, что решения существуют не для всех p.
Для некоторых p решений может быть несколько.
Если куб поменять с квадратом местами, решений будет сильно меньше.

У меня рекордсменом оказалось число p = 28279 с 18 решениями.
a = 32, b = 67
a = 34, b = 105
a = 40, b = 189
a = 50, b = 311
a = 67, b = 522
a = 70, b = 561
a = 122, b = 1337
a = 260, b = 4189
a = 295, b = 5064
a = 359, b = 6800
a = 515, b = 11686
a = 592, b = 14403
a = 952, b = 29373
a = 2284, b = 109155
a = 2327, b = 112252
a = 2410, b = 118311
a = 7330, b = 627561
a = 7580, b = 659939

Вопрос: что теория говорит по поводу абсолютного рекордсмена ?
Очевидно, что рекорд нужно искать где-то в начальном диапазоне

(Оффтоп)

ТОП-100 ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ С МАКСИМАЛЬНЫМ КОЛИЧЕСТВОМ РЕШЕНИЙ
--------------------------------------------------------------------------------
№ | Простое число p | Решений | Примеры решений (a,b)
--------------------------------------------------------------------------------
1 | 28279 | 18 | (32,67), (34,105), (40,189) и еще 15...
2 | 141073183 | 13 | (527,2300), (548,4847), (578,7213) и еще 10...
3 | 1177446799 | 12 | (1070,6899), (1222,25443), (1250,27851) и еще 9...
4 | 1359271 | 12 | (115,402), (128,859), (188,2299) и еще 9...
5 | 2807525431 | 11 | (1411,1290), (1475,20038), (1598,35681) и еще 8...
6 | 917783 | 11 | (98,153), (119,876), (164,1869) и еще 8...
7 | 491257927 | 11 | (791,1912), (802,4959), (851,11182) и еще 8...
8 | 1406591 | 11 | (123,674), (128,831), (150,1403) и еще 8...
9 | 731696671 | 11 | (910,4677), (955,11802), (1108,25071) и еще 8...
10 | 2092565159 | 11 | (1310,12471), (1332,16453), (1427,28518) и еще 8...
11 | 1099989503 | 11 | (1034,2349), (1262,30165), (1563,52138) и еще 8...
12 | 4023751 | 11 | (170,943), (176,1195), (215,2432) и еще 8...
13 | 419040143 | 11 | (948,20807), (1082,29115), (1104,30439) и еще 8...
14 | 245862719 | 11 | (639,3880), (690,9091), (764,14145) и еще 8...
15 | 413771887 | 11 | (808,10665), (811,10938), (962,21829) и еще 8...
16 | 344719 | 11 | (80,409), (95,716), (139,1530) и еще 8...
17 | 3071615887 | 11 | (1492,15801), (1583,29920), (1958,66595) и еще 8...
18 | 8245506007 | 10 | (2096,31027), (2176,45363), (2371,71298) и еще 7...
19 | 1690694263 | 10 | (1192,1725), (1219,10986), (1478,39217) и еще 7...
20 | 2785031 | 10 | (198,2231), (230,3063), (248,3531) и еще 7...
21 | 249007807 | 10 | (751,13212), (772,14529), (832,18081) и еще 7...
22 | 6954801839 | 10 | (2004,33065), (2027,37062), (2162,56133) и еще 7...
23 | 1318068919 | 10 | (1114,8025), (1150,14241), (1262,26303) и еще 7...
24 | 2343311 | 10 | (140,633), (171,1630), (203,2454) и еще 7...
25 | 1315871 | 10 | (110,123), (116,495), (198,2539) и еще 7...
26 | 2086543 | 10 | (128,103), (139,774), (158,1363) и еще 7...
27 | 1170271 | 10 | (116,625), (155,1598), (166,1845) и еще 7...
28 | 7662914783 | 10 | (1979,9366), (2024,25071), (2048,30447) и еще 7...
29 | 1246319 | 10 | (110,291), (114,485), (150,1459) и еще 7...
30 | 1177399 | 10 | (112,477), (232,3363), (250,3801) и еще 7...
31 | 522127 | 10 | (82,171), (128,1255), (166,2013) и еще 7...
32 | 847255303 | 10 | (974,8761), (1162,26865), (1687,62880) и еще 7...
33 | 884619719 | 10 | (960,341), (1164,26315), (1242,32113) и еще 7...
34 | 2048239 | 10 | (127,12), (160,1431), (230,3181) и еще 7...
35 | 3757879 | 9 | (190,1761), (259,3690), (359,6520) и еще 6...
36 | 2005343 | 9 | (128,303), (164,1551), (207,2620) и еще 6...
37 | 5579839 | 9 | (190,1131), (379,6990), (392,7393) и еще 6...
38 | 5153819831 | 9 | (1848,34019), (1898,41031), (2436,96445) и еще 6...
39 | 1344757663 | 9 | (1114,6141), (1403,37642), (1418,38813) и еще 6...
40 | 17465543 | 9 | (263,852), (318,3833), (344,4821) и еще 6...
41 | 4332660679 | 9 | (1892,49397), (1952,55723), (1984,58965) и еще 6...
42 | 3521557927 | 9 | (1526,5657), (1591,22488), (1628,28165) и еще 6...
43 | 4251223 | 9 | (163,282), (172,915), (298,4713) и еще 6...
44 | 7856279 | 9 | (212,1293), (270,3439), (282,3817) и еще 6...
45 | 720703 | 9 | (124,1089), (164,1921), (239,3596) и еще 6...
46 | 431 | 9 | (8,9), (11,30), (20,87) и еще 6...
47 | 2351 | 9 | (15,32), (18,59), (30,157) и еще 6...
48 | 11999719 | 9 | (230,409), (247,1752), (275,2966) и еще 6...
49 | 6675471487 | 9 | (1883,1030), (2008,37695), (2032,41409) и еще 6...
50 | 6218317727 | 9 | (1856,13233), (2162,62349), (2447,91836) и еще 6...
51 | 2114207 | 9 | (132,431), (143,900), (156,1297) и еще 6...
52 | 27582792031 | 9 | (3023,6556), (3118,52251), (3286,88875) и еще 6...
53 | 1587678623 | 9 | (1179,7154), (1208,13233), (1548,46063) и еще 6...
54 | 14967145351 | 9 | (2480,16907), (2503,26724), (3700,188907) и еще 6...
55 | 4340431 | 9 | (190,1587), (200,1913), (286,4365) и еще 6...
56 | 166305871 | 9 | (566,3875), (820,19623), (1055,31748) и еще 6...
57 | 592768063 | 9 | (848,4127), (892,10815), (928,14367) и еще 6...
58 | 24026666759 | 8 | (2894,14535), (3432,128053), (4050,205921) и еще 5...
59 | 5497217191 | 8 | (1888,35109), (2206,72375), (2423,93424) и еще 5...
60 | 68692607 | 8 | (431,3372), (702,16651), (1268,44385) и еще 5...
61 | 503 | 8 | (8,3), (12,35), (18,73) и еще 5...
62 | 4863294503 | 8 | (1779,27694), (1844,37509), (1959,51524) и еще 5...
63 | 35623943 | 8 | (339,1826), (518,10167), (734,18969) и еще 5...
64 | 3536400727 | 8 | (1576,19443), (1667,33106), (2692,126381) и еще 5...
65 | 24412247 | 8 | (426,7273), (867,25046), (1262,44559) и еще 5...
66 | 8004442247 | 8 | (2007,8936), (2022,16201), (2067,28754) и еще 5...
67 | 52075223 | 8 | (458,6633), (704,17229), (1422,53135) и еще 5...
68 | 21944431 | 8 | (280,87), (430,7587), (1036,33015) и еще 5...
69 | 1150962551 | 8 | (1070,8607), (1383,38656), (2726,138225) и еще 5...
70 | 6853823 | 8 | (194,669), (204,1279), (347,5910) и еще 5...
71 | 20993228423 | 8 | (2759,2916), (2772,17515), (2874,52399) и еще 5...
72 | 3361485383 | 8 | (2327,96120), (2418,103807), (2483,109302) и еще 5...
73 | 2075795063 | 8 | (1328,16317), (1394,25161), (1554,40951) и еще 5...
74 | 239265919 | 8 | (622,1173), (955,25134), (1040,29759) и еще 5...
75 | 111066479 | 8 | (630,11789), (650,12789), (684,14455) и еще 5...
76 | 25137684919 | 8 | (2930,4009), (3107,69682), (4630,272241) и еще 5...
77 | 12957839 | 8 | (282,3077), (290,3381), (480,9881) и еще 5...
78 | 21679039 | 8 | (367,5268), (440,7969), (562,12483) и еще 5...
79 | 3788839 | 8 | (167,932), (220,2619), (412,8133) и еще 5...
80 | 4146239719 | 8 | (1639,16020), (1715,29966), (2090,70591) и еще 5...
81 | 3271003831 | 8 | (1495,8388), (1640,33763), (1898,59719) и еще 5...
82 | 29656423 | 8 | (328,2373), (338,2993), (422,6745) и еще 5...
83 | 35639964863 | 8 | (4242,201725), (4463,230772), (4734,265429) и еще 5...
84 | 67294639 | 8 | (422,2803), (460,5481), (472,6153) и еще 5...
85 | 7735823 | 8 | (198,163), (398,7437), (704,18471) и еще 5...
86 | 32186431 | 8 | (328,1761), (388,5121), (635,14962) и еще 5...
87 | 8240383 | 8 | (202,45), (283,3798), (398,7403) и еще 5...
88 | 8813879 | 8 | (227,1698), (272,3363), (312,4643) и еще 5...
89 | 7809967871 | 8 | (2016,19585), (2478,86059), (2748,113761) и еще 5...
90 | 12476447 | 8 | (332,4911), (582,13589), (746,20067) и еще 5...
91 | 35081359543 | 8 | (3274,3591), (3278,11903), (3698,124457) и еще 5...
92 | 105062413231 | 8 | (4888,108279), (5995,332262), (6538,417621) и еще 5...
93 | 16508951 | 8 | (276,2125), (323,4146), (503,10524) и еще 5...
94 | 4314802951 | 8 | (1628,149), (1630,3993), (1735,30132) и еще 5...
95 | 4083595759 | 8 | (1994,62005), (2320,91671), (2540,110921) и еще 5...
96 | 8396639 | 8 | (204,305), (347,5778), (512,11217) и еще 5...
97 | 57958487 | 8 | (387,46), (608,12915), (1052,33261) и еще 5...
98 | 11453448439 | 8 | (2312,30083), (3622,189903), (4780,312669) и еще 5...
99 | 30114431 | 8 | (330,2413), (488,9279), (1040,33087) и еще 5...
100 | 109567079 | 8 | (534,6535), (659,13290), (660,13339) и еще 5...

-- 05.03.2026, 12:26 --

Наиболее часто встречаемое a = 8777 - встречается более 100000 раз
В первой двадцатке все a - 4-значные
Наиболее часто встречаемое b = 205 - встречается 629 раз

[Dmitriy40]

mathpath в сообщении #1719463 писал(а):

Есть теорема Пиллаи

Она гипотеза так как не доказана.

mathpath в сообщении #1719463 писал(а):

У меня рекордсменом оказалось число p = 28279 с 18 решениями.

Вы недосчитали:
19: 11702^3-1265873^2=28279
20: 130184^3-46971715^2=28279
21: 26507590^3-136475711439^2=28279

Соответственно и таблица ТОП у Вас неправильная. Например для p=2351 тоже недосчитали:
1: 15^3-32^2=2351
2: 18^3-59^2=2351
3: 30^3-157^2=2351
4: 48^3-329^2=2351
5: 276^3-4585^2=2351
6: 378^3-7349^2=2351
7: 558^3-13181^2=2351
8: 651^3-16610^2=2351
9: 3135^3-175532^2=2351
10: 13035^3-1488218^2=2351

И даже ТОП1 должен быть другим:
1: 808^3-10665^2=413771887
2: 811^3-10938^2=413771887
3: 962^3-21829^2=413771887
4: 982^3-23091^2=413771887
5: 1558^3-58035^2=413771887
6: 2372^3-113719^2=413771887
7: 3083^3-169970^2=413771887
8: 3508^3-206775^2=413771887
9: 3791^3-232528^2=413771887
10: 6662^3-543379^2=413771887
11: 8902^3-839661^2=413771887
12: 10042^3-1006101^2=413771887
13: 15436^3-1917687^2=413771887
14: 25226^3-4006517^2=413771887
15: 35846^3-6786707^2=413771887
16: 37808^3-7351465^2=413771887
17: 40591^3-8177928^2=413771887
18: 42751^3-8839308^2=413771887
19: 45316^3-9646647^2=413771887
20: 81458^3-23248795^2=413771887
21: 153746^3-60284507^2=413771887
22: 469312^3-321508521^2=413771887
23: 563032^3-422473641^2=413771887
24: 5042572^3-11323434231^2=413771887
25: 51852782^3-373386054109^2=413771887
1: 791^3-1912^2=491257927
2: 802^3-4959^2=491257927
3: 851^3-11182^2=491257927
4: 1012^3-23349^2=491257927
5: 1028^3-24395^2=491257927
6: 1628^3-61835^2=491257927
7: 1666^3-64287^2=491257927
8: 2567^3-128156^2=491257927
9: 5566^3-414663^2=491257927
10: 7447^3-642264^2=491257927
11: 7606^3-662967^2=491257927
12: 10502^3-1076009^2=491257927
13: 14476^3-1741557^2=491257927
14: 15278^3-1888295^2=491257927
15: 16627^3-2143866^2=491257927
16: 24628^3-3864885^2=491257927
17: 38522^3-7560689^2=491257927
18: 75136^3-20595477^2=491257927
19: 477703^3-330169500^2=491257927
20: 522746^3-377951503^2=491257927
21: 8902216^3-26561169387^2=491257927
22: 11012467^3-36544912806^2=491257927
23: 20454922^3-92511717039^2=491257927
24: 67372628^3-553000128565^2=491257927
25: 246149392^3-3861874453269^2=491257927

[mathpath]

Ого
Гипотеза Пиллаи трещит по швам

Я проверял число 8777, не является ли оно генератором арифметической прогрессии - есть ли такие b, идущие подряд, которые в комбинации с a=8777 генерят простые
Оказалось - нет, не является, нет даже двух подряд

[Dmitriy40]

mathpath в сообщении #1719493 писал(а):

Я проверял число 8777, не является ли оно генератором арифметической прогрессии - есть ли такие b, идущие подряд, которые в комбинации с a=8777 генерят простые
Оказалось - нет, не является, нет даже двух подряд

Это невозможно при p>2 для любых a: соседние b имеют разную чётность, значит разную чётность будет иметь и выражение a^3-b^2=p, но простые больше 2 все имеют одну чётность - нечётную.
Остаётся лишь вариант с a^3-b^2=2 и двумя соседними b, который для a<10^10 подходит лишь a=3, b=4...5.

[Dmitriy40]

mathpath
Оказывается жизнь есть не только в начале натурального ряда ...
Обнаружил цепочки длиной аж до 37! Почти перед p=1трлн было очень неожиданно получить вдруг столь длинные хотя до того с трудом взяли вершину длиной 25.

Теперь ТОП по моей версии выглядит так (показываю последнее наибольшее значение a):

(Оффтоп)

37: 1981743001039=197620634770^3-87851349046275531^2

34: 999702999271=10046072416^3-1006918816301445^2

33: 1737542265463=210134423^3-3046111545748^2
33: 1856136849823=1900538338619^3-2620082414602269094^2

31: 951886194823=2202508222^3-103365666064665^2

26: 1538308541447=594308792^3-14488326775371^2

25: 141073183=13183309852^3-1513689120065745^2
25: 413771887=51852782^3-373386054109^2
25: 491257927=246149392^3-3861874453269^2

24: 249007807=11530012112^3-1238068417958239^2
24: 884619719=108395330^3-1128537144159^2

23: 245862719=215097552510^3-99759256379496341^2

22: 419040143=28135832^3-149241512985^2

21: 28279=26507590^3-136475711439^2
21: 1099989503=5204258^3-11872392003^2
21: 1177446799=2792555^3-4666621774^2
21: 1377968687=11103807^3-37000522484^2
21: 5042744711=254851746^3-4068472829185^2
21: 6954801839=275962379^3-4584318893790^2
21: 11109846367=952958276^3-29417843218703^2
21: 11956272103=3970511434^3-250189844109951^2

20: 592768063=5381948^3-12485595073^2
20: 731696671=466178848^3-10065349197711^2
20: 1150962551=745676^3-643910115^2
20: 1690694263=4233170321338^3-8709608102909466297^2
20: 2807525431=43438120^3-286290232413^2
20: 3131815607=27885932^3-147257609469^2
20: 4314802951=81171460^3-731315934507^2
20: 4332660679=872153815^3-25756664871264^2
20: 6675471487=71105842^3-599594893149^2
20: 7476577903=3629897738^3-218696375428213^2
20: 15253761527=141459578^3-1682474680455^2
20: 53664467471=12467075466^3-1392024511253915^2

Других цепочек длиной 20+ с условиями a<4.398e12 и p<2e12 нет.

[mathpath]

Dmitriy40 в сообщении #1719689 писал(а):

mathpath
Оказывается жизнь есть не только в начале натурального ряда ...
Обнаружил цепочки длиной аж до 37! Почти перед p=1трлн было очень неожиданно получить вдруг столь длинные хотя до того с трудом взяли вершину длиной 25.

Ну дак и я о том же
Если в районе 10^12 идут цепочки длиной 37, то очевидно же, что дальше эти цепочки будут все длиннее и длиннее просто потому, что число вариантов будет расти экспоненциальным образом
Пиллаи свою гипотезу сформулировал 100 лет назад, во времена Литлвуда и Харди
Они все представляли несколько иначе

[Dmitriy40]

mathpath в сообщении #1719710 писал(а):

число вариантов будет расти экспоненциальным образом

Я бы сказал в степени не более чем 1.5 - именно столько разных b будет для каждого a. А начиная с некоторого a (примерно $a>p^{2/3}$) и вовсе сублинейно - для каждого a соответствующее b единственно (или отсутствует).

Вот только я подозреваю что при проверке ещё (сильно) больших a (на 2-6 порядков) найдутся новые варианты и для всех цепочек выше.

(Пример больших интервалов a)

32: 78895972^3-700780884015^2=1856136849823
33: 1900538338619^3-2620082414602269094^2=1856136849823

22: 12129147^3-42242089202^2=245862719
23: 215097552510^3-99759256379496341^2=245862719

Во всяком случае я не смог понять как сюда прикрутить количество рациональных точек на эллиптической кривой и всегда ли оно конечно и конечно ли вообще.
А проверять a>4.4трлн сильно медленнее: не получается задействовать поддерживаемые аппаратно типы данных.

[worm2]

Dmitriy40 в сообщении #1719711 писал(а):

Во всяком случае я не смог понять как сюда прикрутить количество рациональных точек на эллиптической кривой и всегда ли оно конечно и конечно ли вообще.

Это явно как-то связано. Я не настоящий сварщик, но кое-что нагуглил:
1) Все эллиптические кривые, за исключением множества меры ноль, имеют ранг либо 0, либо 1 (их в каком-то смысле "примерно поровну").
2) Кривые ранга 0 имеют не более 16 рациональных точек (теорема Мазура о кручении).
3) Кривые ранга 1 и больше имеют бесконечное число рациональных точек.
Я абсолютно ничего не смог узнать о целых точках, только о рациональных, однако если у кривой больше 16 рациональных (в частности, целых) точек — значит, её ранг больше 0 и рациональных точек бесконечно много.
Ну и намёк (мне так кажется, возможно, кто-то назовёт это нумерологией) на то, что если целых точек много, то, вероятно, множество рациональных точек имеет сложную структуру, то есть ранг велик.
Калькулятор ранга (https://sagecell.sagemath.org/ , ввести в поле "EllipticCurve([0, –p]).rank()", где вместо p подставить нужное простое число) это подтверждает.
Например, при вводе p=413771887 этот калькулятор находит ранг = 7, что (по моим дилетантским представлениям) невообразимо много. Для рекордсмена p=1981743001039 железяка и вовсе ниасилила подсчитать ранг.

[Dmitriy40]

Рациональные точки домножением на общий знаменатель превращаются в целые, и обратно.

Ранг кривой в принципе можно получить и на PARI:

? ellrank(ellinit([0,-28279]))
time = 31 ms.
%1 = [5, 5, 0, [[32, 67], [34, 105], [40, 189], [50, 311], [70, 561]]]
? ellrank(ellinit([0,-413771887]))
time = 93 ms.
%2 = [7, 7, 0, [[808, 10665], [811, 10938], [962, 21829], [982, 23091], [1558, 58035], [3791, 232528], [7633/4, 646713/8]]]
? ellrank(ellinit([0,-1981743001039]))
  *** ellrank: Warning: increasing stack size to 16000000.
  *** ellrank: Warning: increasing stack size to 32000000.
  *** ellrank: Warning: increasing stack size to 64000000.
time = 1,155 ms.
%3 = [9, 9, 0, [[1493279, 1824783340], [3830452, 7496784537], [817441/4, 738982575/8], [16523050/289, 66806758197/4913], [26593864/2025, 48498915763/91125], [84838546/49, 781429391805/343], [2237434537/119716, 88321316882997/41421736], [2423216872/175561, 59209007698467/73560059], [1426498978606/1283689, 1703753982318266895/1454419637]]]
? ellrank(ellinit([0,-4757688324647]))
  *** _RgM_ZM_mul_worker: Warning: increasing stack size to 16000000.
  *** ellrank: Warning: increasing stack size to 32000000.
time = 608 ms.
%4 = [1, 3, 0, [[2301387312, 110403939803291]]]

Ранг в первых двух числах (он не меньше первого и не больше второго).
И даже сразу выдаёт первые несколько решений. Но совершенно явно не все.

Но похоже это какой-то другой ранг, он прямо связан с количеством решений/точек. Хотя верхний предел ранга (второе число) очевидно часто ошибочно. Возможно это из-за какого-то ограничения в PARI, на размер чисел или ещё чего.

И из-за большого времени выполнения для поиска больших простых это неприменимо.

[mathpath]

Надо локально ставить Sagemath, она быстрее онлайн версии
Вместо E.rank() можно выполнить в SageMath функцию
E.gens(descent_second_limit= ).
Увеличивая лимиты (limit), можно заставить программу потратить больше времени на поиск хотя бы нескольких независимых точек бесконечного порядка.

В SageMath есть функция
E.analytic_rank_upper_bound().
Она не даст точного целого числа, но может сказать, что ранг, например, не больше 10, если использовать большой параметр точности .

Я как-то пробовал ставить SageMath локально, но где-то на пол-дороге бросил

[mathpath]

Поставил Sagemath локально
Запустил интерпретатор и набрал там команды:

sage: p = 1981743001039
sage: E = EllipticCurve([0, -p])
sage: print("Кривая:", E)
Кривая: Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 1981743001039 over Rational Field
sage: print("Дискриминант:", E.discriminant())
Дискриминант: -1696595899176170764594353072
sage: print("Кондуктор:", E.conductor())
Кондуктор: 141382991598014230382862756
sage: print("Корневое число:", E.root_number())
Корневое число: -1
sage: print("Ранг (попытка):", E.rank())

На последней команде оно повесилось

[Dmitriy40]

Dmitriy40 в сообщении #1719689 писал(а):

Других цепочек длиной 20+ с условиями a<4.398e12 и p<2e12 нет.

Ослабив ограничение до p<10^13 нашлись ещё цепочки длиной 20+:

(Оффтоп)

31: 4344694525063=68971847314^3-18113725713566241^2

30: 2749914507799=7487433320^3-647887277231149^2

26: 3143722868927=943691552^3-28989792100959^2

25: 3633642998423=14974508522^3-1832436213754935^2
25: 6319718665399=389767091474^3-243336777522876905^2
25: 7690479725431=25647534788^3-4107413643316771^2
25: 8819469239039=3229967154^3-183568077217565^2
25: 9298544313743=1078599209183^3-1120186014731847588^2

23: 8007846123671=107266736930^3-35131573705286823^2
23: 8448150816503=164838197783^3-66924754454308428^2

22: 4894900210423=46390108^3-315964343517^2