Бесконечное поле ненулевой характеристики

[cxzbsdhwert]

На лекции по Алгебре была предложена задача "со звёздочкой" - привести пример бесконечного поля ненулевой (точнее положительной - так почему-то сказал Лектор, как будто есть отрицательная) характеристики.
Хотел спросить верный ли пример, только если не верный, можно пожалуйста без подсказок. Ну или только объяснить почему не верный.

В общем случае это наверное должно быть ограниченное бесконечное множество. На неограниченном бесконечном множестве (да и на любом бесконечном) наверное никто не запрещает ввести нейтральный по "умножению" элемент и сказать что его конечная "сумма" $n$ раз равна нейтральному по "сложению", несмотря на бесконечность и неограниченность, но наверное тогда не выполнится либо ассоциативность либо дистрибутивность.

Ну и тогда почему бы не предложить полуотрезок $[0,2)$ с теми же операциями что и на $\mathbb R$, только если происходит "переполнение" двойки, то целая часть результата должна быть вычетом по модулю два. Нарушится где-то ассоциативность\дистрибутивность? Или пример подходит?

[dgwuqtj]

cxzbsdhwert в сообщении #1718233 писал(а):

Нарушится где-то ассоциативность\дистрибутивность?

Нарушится ассоциативность умножения. Если обозначить ваше умножение через $\circ$, то $(\sqrt 2 \circ \sqrt 2) \circ \frac {\sqrt 2} 2 = 0$ и $\sqrt 2 \circ (\sqrt 2 \circ \frac {\sqrt 2} 2) = \sqrt 2$.

cxzbsdhwert в сообщении #1718233 писал(а):

точнее положительной - так почему-то сказал Лектор, как будто есть отрицательная

Потому что это стандартная терминология.

[cxzbsdhwert]

dgwuqtj
Была ещё раньше задача доказать что группа, в которой каждый элемент обратен самому себе - Абелева. Такая группа является кандидатом на роль нужного, по условию данной задачи, поля, но возникают две проблемы:
1. Теперь нужно доказать что такая группа может быть, и может быть бесконечной. То есть там как бы по условию неявно утверждалось что такая группа есть, но теперь надо доказать что такая группа может быть
2. Ну и вторую операцию ещё предъявить так чтобы по ней тоже была группа и дистрибутивность.

Можно ли доказать первое (что такая группа существует) не путём приведения примера? Ну то есть вот как-то абстрактно.

Может просто аксиоматического объявления достаточно: "пусть $G$-бесконечное множество и $\circ$ - бинарная операция такая что ...". Ну это же определение по-сути, разве оно может быть неправильным. Наверное нет, но множество объектов, которые такому определению удовлетворяют может быть пустым.

(Оффтоп)

Кстати интересно ещё может ли быть кольцо\поле с двумя одинаковыми операциями, ну то есть чтобы операция была дистрибутивна сама с собой. Но это не вопрос, прошу не подсказывать.

Вообще интересно, если мы утверждаем о существовании какого любого абстрактного объекта, ну например, что существует ассоциативные операции, это можно доказать не приводя конкретный пример? Не знаю, эффективно ли в таком случае доказательство "от обратного". Вот если придумать что-то такое для чего конкретного примера ну ни как не получается подобрать, разве это (что не получается подобрать) будет достаточным доказательством того, что такого не может быть?

[mihaild]

Может быть и возможно, но я сходу не соображу, как, и условие выглядит крайне неестественным. Тут гораздо проще построить явный пример.

[dgwuqtj]

А примеры хоть каких-то полей положительной характеристики вам известны?

cxzbsdhwert в сообщении #1718709 писал(а):

2. Ну и вторую операцию ещё предъявить так чтобы по ней тоже была группа и дистрибутивность.

Получится кольцо. Вообще завести умножение на абстрактной абелевой группе уже сложно (попробуйте сделать это на $\mathbb Q / \mathbb Z$!), поэтому так придумывать кольца не надо. Поле получить будет ещё сложнее.

cxzbsdhwert в сообщении #1718709 писал(а):

Кстати интересно ещё может ли быть кольцо\поле с двумя одинаковыми операциями, ну то есть чтобы операция была дистрибутивна сама с собой. Но это не вопрос, прошу не подсказывать.

Так возьмите определение коммутативного кольца с единицей, подставьте туда вместо умножения сложение, и повыводите следствия из аксиом. Вдруг быстро получите противоречие или какое-то сильное ограничение на структуру такого объекта.

cxzbsdhwert в сообщении #1718709 писал(а):

Вообще интересно, если мы утверждаем о существовании какого любого абстрактного объекта, ну например, что существует ассоциативные операции, это можно доказать не приводя конкретный пример?

Есть общие теоремы, но они обычно доказываются конструктивно, как раз через примеры. Например, если у вас есть многообразие алгебр (в смысле матлогики), то в нём всегда есть свободные алгебры. Правда, никто не обещал, что свободная алгебра с бесконечным числом образующих бесконечна, вдруг все образующие склеятся. И поля многообразие не образуют.

[cxzbsdhwert]

dgwuqtj в сообщении #1718713 писал(а):

А примеры хоть каких-то полей положительной характеристики вам известны?

Ну вычеты по простому модулю по-моему. Там все элементы обратимы по умножению.

(Оффтоп)

После модуля полностью посвященному элементам линейной алгебры, по алгебраическим структурам, увы, было две или три лекции. А теперь пошла по-моему нуднейшая тема - комплексные числа. Я думал что линейная алгебра будет скучной, но нет - достаточно интересно получилось, мне понравилось. Но комплексные числа это просто муть какая-то, а абстрактная алгебра будет аж на третьем курсе как я понял

[dgwuqtj]

cxzbsdhwert в сообщении #1718714 писал(а):

Ну вычеты по простому модулю по-моему. Там все элементы обратимы по умножению.

Хорошо. А вообще примеров полей больше не известно? Только $\mathbb Q$, $\mathbb R$, $\mathbb C$ и поля вычетов $\mathbb Z / p \mathbb Z$?

[cxzbsdhwert]

dgwuqtj
Ну Лектор отмечал что числовых полей вроде как больше не проглядывается. По полям положительной характеристики Лектор говорил, что-то типо, что они все подобны вычетам, на основе их строятся, и что будет потом теорема которая это доказывает.
Я думал ещё типо целые числа с обычным сложением и умножением, но отображающим только в ноль или один в зависимости от чётности результата. Ну естественно по умножению у чётных целых не будет обратного. Да и нейтрального по умножению по сути не будет потому что элементы должны отображаться в себя а не в ту же чётность как-бы

[dgwuqtj]

Хорошо. Вы рациональные функции в школе изучали? Можно взять любое поле $F$, скажем, $F = \mathbb Z / 2 \mathbb Z$, и по нему построить множество всех рациональных функций $F(t)$ с коэффициентами из $F$. Проверяйте, что это поле относительно обычных операций.

[cxzbsdhwert]

dgwuqtj в сообщении #1718741 писал(а):

Вы рациональные функции в школе изучали?

Не припомню такой формулировки и не совсем понятно зачем рассматривать только рациональные функции. Но ладно, подумаю конечно, я пока особо не думал над задачей, напала прокрастиницая... Но я как-то ожидал что нужно будет "мыслить абстрактно", а не конкретные примеры приводить

[dgwuqtj]

И надо ещё понимать, что рациональные функции (как и многочлены) — это не функции. Есть и другие примеры, какие-то даже проще строятся, но нужны незнакомые вам идеи.