Старая задач ч а с дополнением

[bot]

Исследовать сходим ость последо вательности заданной рекурре нтностью

$$a_1=a\in\mathbb R,,a_{n+1}=a_n+\frac{a_n^2}{n^2} $$

РЕш

[ex-math]

Неполное решение:
Если при каком-то $n$ будет $a_n\geqslant n$, то последовательность расходится, т.к. тогда $a_{n+1}\geqslant n+1$ и т.д. Значит, при $a\geqslant 1$ и $a\leqslant -2$ (т.к. тогда $a_2\geqslant2$) сходимости нет.
При $a\in[-1,0]$ сходимость есть, т.к. тогда все $a_n\leqslant0$ и последовательность ограничена (монотонность имеется при любых $a$ из условия).

[worm2]

При $a\in(0, 1)$ сходится. Короткого и красивого решения не нашёл. Схема доказательства:
Решение "соответствующего дифура" $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^2}{x^2}$ есть функция $y=\dfrac{x}{Cx+1}$, имеющая конечный предел при $x\to\infty$. Что намекает на асимптотику сходимости последовательности $a_n \sim \dfrac{An}{Bn+C}$.
Немного повозившись, можно получить оценку $a_n\leqslant\dfrac{n}{\varepsilon n+2}$, которая доказывается муторно, но элементарно индукцией ($\varepsilon$ нужно выбрать так, чтобы база индукции выполнялась).
Численные эксперименты намекают на более точную оценку $a_n\leqslant\dfrac{2n}{(1-a_1)n+2}$, но, к сожалению, эта оценка индукцией не доказывается.

[ex-math]

Оценка $a_n\leqslant\frac n{\varepsilon n+2}$ дает сходимость только при $a<\frac12$ (правда, можно немного расширить промежуток, рассматривая $a_2$ и дальше вместо $a_1$, но нет уверенности что получится вплоть до единицы). Но, основываясь на вашей идее, можно доказать по индукции оценку $a_n\leqslant\frac n{\varepsilon n+1+\varepsilon}$, которая дает сходимость при $a\leqslant\frac1{1+2\varepsilon}$, то есть вплоть до единицы.

[Null]

Пусть $0<a_1<1$
Пусть $b_n=\frac{a_n}{n}$
$a_{n+1}=a_{1}+\sum_{k=1}^n{b_k^2}$-нужно доказать сходимость, т.е. достаточно чтобы $b_n=O(n^{-2/3})$
$b_{n+1}=b_n-\frac{b_n-b_n^2}{n+1}$ - по условию т.е. оно:
1.$\in(0;1)$
2.Убывает.
3.Имеет предел.
4.Стремиться к 0, так как ряд $(\varepsilon-\varepsilon^2)\sum_{k=M}^{\infty}\frac{1}{k+1}$ расходится(от противного)
$b_{n+1}=b_n\frac{n+b_n}{n+1}$
Так как начиная с некоторого места $b_{n}<\frac{1}{3}$
$b_{n+1}=b_n(1-\frac{1-b_n}{n+1})<b_n(1-\frac{2/3}{n+1})$
Значит $b_n=O(n^{-2/3})$

-- Пт фев 20, 2026 18:49:07 --

ex-math в сообщении #1718656 писал(а):

Оценка $a_n\leqslant\frac n{\varepsilon n+2}$ дает сходимость только при $a<\frac12$

Это дает ограниченность, а её достаточно.

[ex-math]

Null
Нет, база индукции не выполнена и оценки нет.