Аксиома выделения против доказательства теоремы Кантора

[Mikhail_K]

cxzbsdhwert в сообщении #1718305 писал(а):

В указанной Вами аксиоме присутствует импликация "если истинно утв. X, то истинно утверждение о том что мн-ва равны". Следствие "мн-ва равны" ложно, если, насколько я помню, ложна причина

Не так. Если посылка (причина) верна, то следствие обязательно верно. Если посылка неверна, то следствие может быть верным, а может быть неверным - импликация не позволяет сделать тот или иной вывод об этом. В теме по Вашей ссылке это и объяснялось.

cxzbsdhwert в сообщении #1718305 писал(а):

Ну а ложность причины доказать для двух пустых множеств нельзя

Можно доказать истинность. Утверждение $\forall x,\,x\in\varnothing_1\,\leftrightarrow\,x\in\varnothing_2$ верно согласно логическому принципу "из лжи следует что угодно" ($x\in\varnothing_1$ заведомо ложно, поэтому из него следует вообще всё, в частности $x\in\varnothing_2$, и наоборот аналогично). Тем самым выполнена посылка в аксиоме экстенсиональности, а значит верно и следствие: $\varnothing_1=\varnothing_2$. То есть любые два пустых множества совпадают.

Интуитивно: равные множества - это в которых одинаковый "состав элементов", так что нельзя указать элемент, который в одном множестве есть, а в другом его нет. Для двух пустых множеств это верно.

-- 15.02.2026, 16:36 --

cxzbsdhwert в сообщении #1718305 писал(а):

Да это по-моему просто определение равных множеств

На это можно так смотреть. Но лучше всего равенство понимать на уровне логики, а не математики (и, значит, не давать ему математических определений): равные объекты - это в точности совпадающие, которые можно подставлять один вместо другого в любые утверждения. Например, если $x\in A$ и $A=B$, то $x\in B$, потому что $A$ и $B$ - это одно и то же.
Аксиома экстенсиональности не следует из такого понимания равенства, и из неё такое понимание равенства множеств тоже не вытекает. Поэтому её лучше считать отдельной аксиомой, а не определением равенства. Хотя тут есть разные подходы.

[cxzbsdhwert]

Mikhail_K в сообщении #1718239 писал(а):

не разломав всю теорию

Вот именно что всю. Я с этим и не спорю, я написал: " ограничиваясь рассмотрением данной Теоремы".
Ограничиваясь рассмотрением этой теоремы принадлежность пустого множества к мн. всех подмножеств является искусственным утверждением. Ну вот примерно как объяснять далёкому от математике человеку, ребёнку например: "вот есть кубики и можно ли кубики "биективно" сопоставить всем возможным подгруппкам кубиков, если кубиков бесконечно?". Утверждение о том что какой-то кубик обязательно нужно сопоставить "ничему", т.е. пустому множеству, поскольку "ничто" это вообще-то тоже "подгруппка" кубиков это вопрос соглашения, чисто "по вкусу". Ограничиваясь этой задачей, можем считать что "ничего" это тоже подгруппка кубиков, а можем не считать. Вот если не считать, то ведь мои соображения верны?

Mikhail_K в сообщении #1718239 писал(а):

Для бесконечных множеств $A$ можно рассуждать так. Теорема Кантора утверждает неравномощность $A$ и $2^A$ (где $2^A$ включает пустое множество). Если $A$ бесконечно, то и $2^A$ бесконечно. Есть теорема, что при удалении одного элемента из бесконечного множества его мощность не меняется, так что $2^A\backslash\{\varnothing\}$ равномощно $2^A$ и, значит, неравномощно $A$.

Ещё раз - $2^A$ в рассматриваемом, пусть "наивном" представлении, это и есть "два а, без $\emptyset$", и оно не просто равномощно $2^A\backslash \emptyset$, оно ещё и равно, потому что $\emptyset$ в нём нет, и ничего об отношении равномощности с $A$ нам не известно.

[cxzbsdhwert]

Mikhail_K в сообщении #1718307 писал(а):

Не так.

Импликация это логическая функция от двух аргументов - причины и следствия. Она сама может быть ложна или истинна, и это определяется её таблицей истинности на основании истинностей аргументов.
Наша аксиома - импликация. Мы принимаем её верной. Тогда по таблице истинности мы смотрим при каких значениях аргументов верна импликация, а затем для таких пар пробуем доказать значение одного аргумента - причины, в данном случае, для получения значения второго аргумента.

Mikhail_K в сообщении #1718307 писал(а):

Если посылка неверна, то следствие может быть верным, а может быть неверным - импликация не позволяет сделать тот или иной вывод об этом

По таблице истинности импликации, действительно, импликация верна при двух ложных причинах, при этом следствие может быть как ложным так и истинным. То есть здесь не однозначность.
Но нас и не интересует случай когда причина ложна.

При истиности причины импликация верна только если истинно следствие. Значит, если мы знаем что истинна сама импликация (аксиома) и знаем что истинна причина, то обязательно истино и следствие - "мн-ва равны".

[mihaild]

cxzbsdhwert в сообщении #1718305 писал(а):

Стрелочками это же Вы не биекцию и произвольное отображение, а "тогда и только тогда когда" и "следует" обозначили? И $a$ и $b$ в первой половине имелись в виду с большой буквы?

Да, в таком контексте $\rightarrow$ это импликация, а $\leftrightarrow$ - эквивалентность.
И да, слева и справа $a$ и $b$ в одинаковом регистре должны быть.

cxzbsdhwert в сообщении #1718305 писал(а):

Да это по-моему просто определение равных множеств

Это аксиома про связь значков $=$ и $\in$. Она состоит из двух частей:
1. Если множества равны, то им принадлежат одни и те же элементы.
Это частный случай так называемых "логических аксиом равенства". По умолчанию считается, что если в языке используется знак $=$, то там есть и аксиомы вида $\forall A,B: A = B \rightarrow (P(A) \leftrightarrow P(B))$ для всех возможных формул $P$. Они относятся к "логическим" аксиомам (в противоположность "предметным"), потому что в общем-то ничего содержательного о нашей теории не говорят.
2. Если множествам принадлежат одни и те же элементы, то множества равны.
Это как раз содержательная часть. В принципе можно было бы сказать, что у множеств есть еще какие-то характеристики, и есть много разных множеств с одними и теми же элементами.

cxzbsdhwert в сообщении #1718305 писал(а):

Следствие "мн-ва равны" ложно, если, насколько я помню, ложна причина

Нет, это импликация в другую сторону. В данном случае она тоже есть (потому что в аксиоме эквивалентность), но в общем случае ее может и не быть.

cxzbsdhwert в сообщении #1718305 писал(а):

икс - какой-либо в самом широком смысле? Я такого ещё не видел, если честно

Как раз в самой базовой формализации все кванторы неограничены (т.е. квантор не накладывает ограничений на переменную). Как раз запись вида $\forall x \in A: P(x)$ определяется через неограниченные кванторы: $\forall x: x\in A \rightarrow P(x)$.

(Оффтоп)

cxzbsdhwert в сообщении #1718305 писал(а):

Эту теорию Лектор в начале упоминал. Там ещё ZFC по-моему есть

Да, есть. Это, наверное, самая популярная из формальных теорий множеств. И почти вся математика работает с чем-то, что можно условно назвать "неформальной ZFC".
Разница между ZF и ZFC будет позже. В анализе почти всегда используется имено ZFC, причем явно использование C обычно даже не проговаривается.

Mikhail_K в сообщении #1718239 писал(а):

Есть теорема, что при удалении одного элемента из бесконечного множества его мощность не меняется

Это, например, теорема ZFC, но не ZF.

-- 15.02.2026, 19:13 --

cxzbsdhwert в сообщении #1718308 писал(а):

Ограничиваясь этой задачей, можем считать что "ничего" это тоже подгруппка кубиков, а можем не считать. Вот если не считать, то ведь мои соображения верны?

Это другая задача - существует ли биекция между $A$ и $\mathcal P(A) \setminus \{\varnothing\}$.
Она опять же не существует если $|A| > 1$. Предположите, что диагональный метод выдал пустое множество, и для каких-нибудь $a$ и $b$ посмотрите на прообразы $\{a\}, \{b\}, \{a, b\}$.

[Mikhail_K]

cxzbsdhwert в сообщении #1718308 писал(а):

Ещё раз - $2^A$ в рассматриваемом, пусть "наивном" представлении, это и есть "два а, без $\emptyset$", и оно не просто равномощно $2^A\backslash \emptyset$, оно ещё и равно, потому что $\emptyset$ в нём нет, и ничего об отношении равномощности с $A$ нам не известно.

Так не делается - под $2^A$ понимается всегда множество всех подмножеств множества $A$, включая пустое множество.
Хотите рассматривать множество всех непустых подмножеств - имеете право, просто обозначайте его не $2^A$, а по-другому.
Доказать его неравномощность $A$ (для бесконечных $A$) можно так, как я предложил выше, или mihaild предложил другой подход: предположить наличие биекции $f$, и если множество $\{x\in A\,|\,x\notin f(x)\}$ непусто, то рассуждать как в теореме Кантора, а если пусто, то есть, как Вы говорите,

cxzbsdhwert в сообщении #1718223 писал(а):

все элементы отображают только в подмножества в которых они содержатся

- то

mihaild в сообщении #1718323 писал(а):

для каких-нибудь $a$ и $b$ посмотрите на прообразы $\{a\}, \{b\}, \{a, b\}$.

cxzbsdhwert в сообщении #1718312 писал(а):

Значит, если мы знаем что истинна сама импликация (аксиома) и знаем что истинна причина, то обязательно истино и следствие - "мн-ва равны".

Это верно.

cxzbsdhwert в сообщении #1718308 писал(а):

Ограничиваясь этой задачей, можем считать что "ничего" это тоже подгруппка кубиков, а можем не считать. Вот если не считать, то ведь мои соображения верны?

Какие соображения? Что тогда рассуждение в теореме Кантора в исходном виде не подойдёт и его надо будет докручивать тем или иным способом - да. Но способы его докрутить имеются.

[cxzbsdhwert]

mihaild в сообщении #1718323 писал(а):

Как раз в самой базовой формализации все кванторы неограничены

А есть типа вот как множество всех множеств, только множеств всех объектов не являющихся множествами? Рассмотрение множества всех множеств приводит к парадоксам, ну вот в том числе в связи с Теоремой данной темы, а как насчёт множества всех объектов?
А кстати, что если ещё множество всех множеств И объектов, не являющихся множествами?
Не думал об этом ранее.

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1718323 писал(а):

Разница между ZF и ZFC будет позже

Да Лектор и про ZF толком не рассказал. Насколько я понимаю, теория множеств как учебная дисциплина вообще должна быть отдельной от анализа. В первом семестре "мехмата" есть анализ, алгебра, эл. теории чисел и ан.геометрия (ну и физкультура и работа на ЭВМ)

[mihaild]

cxzbsdhwert в сообщении #1718403 писал(а):

А есть типа вот как множество всех множеств, только множеств всех объектов не являющихся множествами?

Во многих теориях множеств, в том числе ZF, нет объектов, не являющихся множествами.
Про формальные теории множеств с урэлементами - объектами, не являющимися множествами - я знаю только то, что они существуют, но никаких деталей не знаю. Ну и Вам они, скорее всего, тоже пока не нужны.

(Оффтоп)

cxzbsdhwert в сообщении #1718403 писал(а):

В первом семестре "мехмата" есть анализ, алгебра, эл. теории чисел и ан.геометрия (ну и физкультура и работа на ЭВМ)

Не знаю как сейчас, у меня отдельного курса по теории множеств на мехмате вообще не было. Впрочем, и теория чисел была на 4м курсе, а не на 1м, так что это может меняться со временем.

[Someone]

cxzbsdhwert в сообщении #1718403 писал(а):

А есть типа вот как множество всех множеств, только множеств всех объектов не являющихся множествами?

Зачем они Вам? Не забивайте себе голову ненужными вещами, разберитесь хотя бы с так называемой наивной теорией множеств (неформализованной).

Теории множеств с атомами (или урэлементами, как их называет mihaild) бывают. Иногда такие теории удобны. Например, я встречал построение нестандартного математического анализа, в котором действительные числа считались атомами.
Ничего особо интересного Вы там не найдёте. Если $\alpha$ — атом, то он не имеет ни элементов, ни подмножеств. Поэтому, например множество его элементов является пустым, и множество его подмножеств тоже пустое. При этом атомы вполне могут быть элементами множеств.

Будет ли совокупность всех атомов множеством или классом? А как определено в описании теории, так и будет.

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1718408 писал(а):

Не знаю как сейчас, у меня отдельного курса по теории множеств на мехмате вообще не было.

Ну, у меня тоже отдельного курса (или хотя бы спецкурса при кафедре) не было, хотя готовили из меня специалиста в области общей (теоретико-множественной) топологии. По литературе изучал.