Потенциальная энергия вращения

[tsapel]

Оказывается в МГТУ им. Н.Э. Баумана учат, что поле центробежных сил инерции в системе отсчета, вращающейся вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью, потенциально. В учебнике А.М. Афонина приводится пример определения его потенциала

$ \phi = -\omega^2 r^2/2 $

[realeugene]

tsapel в сообщении #1717822 писал(а):

с постоянной угловой скоростью

Это словосочетание важно.

[tsapel]

DimaM в сообщении #1714874 писал(а):

В данном примере кинетическая энергия увеличивается за счет работы мышц студента, то есть уменьшения запаса химической энергии. Никакой "потенциальной энергии вращения" тут нет.

В этом нет - предлагаю другой.
Два грузика одинаковой массы, соединённые невесомыми шарнирами и невесомой нитью, вращаются вокруг центра масс между ними с угловой скоростью $\Omega_{1}$ и образуют систему с моментом инерции $I_{1}$.

В некоторый момент времени нить разрывают и под действием центробежных сил грузики удаляются друг от друга до расстояния удвоенного плеча шарниров. Т.к. момент сил, увеличивший расстояние между грузиками равен 0, то он не привёл к изменению момента импульса и $L_{1} = L_{2} \Rightarrow I_{1}\Omega_{1} = I_{2}\Omega_{2}$. Однако увеличение расстояние между грузиками привело к увеличению момента инерции $I_{2} > I_{1}$, уменьшению скорости вращения $\Omega_{2} < \Omega_{1}$ и, следовательно, уменьшению кинетической энергии вращения $L_{2}\Omega_{2}/2 < L_{1}\Omega_{1}/2$.
Вопрос: если полная энергия системы не менялась куда ушло уменьшение кинетической энергии вращения?

[warlock66613]

tsapel в сообщении #1722578 писал(а):

если полная энергия системы не менялась

С чего это вы так решили?

[tsapel]

Полагаю энергию, затраченную на разрыв нити, ничтожно малой.

[DimaM]

tsapel
После разрыва нити грузики приобретают радиальную скорость. Причем в точке максимального удаления эта скорость максимальна. Куда она потом девается, по-вашему?

[Cos(x-pi/2)]

tsapel
Тоже добавлю пояснения (стараюсь помочь Вам ответить на вопрос уважаемого DimaM и на Ваш собственный вопрос):

(Пояснения)

После разрыва нити каждый грузик движется равномерно и прямолинейно, с той скоростью, которая у грузика была на его орбите в момент разрыва нити. Ведь в этой идеализированной задаче считается, что плечи шарниров никак не стесняют движения грузов (не действуют на грузы никакой силой) до тех пор, пока грузы не разлетятся на максимальное расстояние друг от друга так, что плечи полностью распрямятся.

На этой стадии бывшая (до разрыва нити) кинетическая энергия вращения грузов стала кинетической энергией их свободного движения. Её уже нельзя считать кинетической энергией вращения. Ведь грузы теперь не только поворачиваются вокруг центра бывшей орбиты (с прежним моментом импульса, который не равен нулю, так как прямые линии траекторий грузов не проходят через этот центр), но и удаляются от этого центра. Поэтому их энергию можно представить как сумму: центробежная энергия плюс энергия радиального движения; первое слагаемое убывает, второе возрастает, а сумма не меняется. Центр бывшей орбиты я дальше буду называть началом координат.

В момент, когда плечи шарниров полностью распрямляются, они "дёргают" грузики (т.е. сообщают каждому грузику вектор ускорения) вдоль линии вытянутости плеч в направлении к началу координат. Если считать, что в этом взаимодействии грузиков с плечами переход энергии в упругие колебания (звук удара) и в тепло пренебрежимо мал, то у каждого груза меняется лишь направление полёта. Так что, энергия дальнейшего свободного движения и момент импульса - прежние.

На этой новой стадии грузы движутся равномерно и прямолинейно так, что сначала они сближаются до минимального расстояния; оно равно диаметру их орбиты перед разрывом нити. Затем это движение грузов беспрепятственно продолжается, и они снова разлетаются. Но в какой-то момент плечи шарниров снова дёргают их назад; и так далее.


Для вычислений удобно вместо механизма с шарнирами представлять себе полость цилиндра: после разрыва нити грузики свободно движутся внутри цилиндра, упруго отскакивая от его внутренней стенки. Поскольку грузики на каждой стадии движутся в противоположных направлениях, достаточно рассматривать один грузик.

На предыдущей странице я рассказывал об эффективном потенциале: post1715264.html#p1715264 Идея там пояснена на примере грузика с пружинкой. А теперь вместо потенциальной энергии пружинки возьмём потенциал U(r) такой, что на расстояниях, меньших радиуса цилиндра R, он ничтожно мал, а на расстояниях, превышающих R, резко возрастает - так описываем внутреннюю стенку цилиндра. Конкретно, пусть, например,

$$U(r)=k\,\left(\frac{r}{R}\right)^{40}$$

где $r=\sqrt{x^2+y^2},$ k=1 в единицах энергии, R=10 единиц длины. Вот график этой потенциальной ямы:



Результат моделирования траектории грузика, вычисляемой по уравнению Ньютона, добавлен в уже упоминавшуюся папку view на яндекс-диске. Это:

Пример 03_view. Начальное положение грузика (в момент разрыва нити) выбрано на оси Ox в точке $x_0=1,$ т.е. при $r\ll R.$ Начальная скорость грузика: 2 единицы скорости в направлении оси Oy. Масса грузика равна единице массы. Поэтому: энергия груза с хорошей точностью есть E=2 единицы энергии, момент импульса L=2 единицы момента импульса. Численное моделирование показало, что во время движения груза энергия и момент импульса, как и должно быть, сохраняются.

Файл 03_view.jpg показывает форму траектории на плоскости (x,y) и график эффективного потенциала. Файл 03_view.mp4 - анимация движения грузика. Файл 03_view.htm (если скачать все три файла себе в компьютер) при запуске в браузере позволяет увидеть всё разом; в этом htm-файле для запуска видео с анимацией надо кликнуть слово Play, виднеющееся над рисунками. Можно и прямо в интернете поочерёдно кликать файлы 03_view.jpg и 03_view.mp4.

На всякий случай, вот отдельно ссылка на изображение траектории грузика и эффективного потенциала из файла 03_view.jpg: движение в цилиндре

Подчеркну ещё раз, что значения энергии E, показанные красным цветом, не руками начерчены, а вычислены в процессе расчёта траектории (и в этом примере, и в остальных). Это сумма кинетической энергии груза с потенциальной энергией, описывающей яму, в каждой точке траектории. Эта же энергия равна сумме энергии радиального движения с эффективным потенциалом (при сохраняющемся моменте импульса L) в каждой точке траектории.

И, если вдуматься, всё это тривиально :))

[realeugene]

С абсолютно упругими отражениями грузики будут вращаться вокруг оси не по кругу, а по квадрату.

[Cos(x-pi/2)]

realeugene в сообщении #1722641 писал(а):

С абсолютно упругими отражениями грузики будут вращаться вокруг оси не по кругу, а по квадрату.

По квадрату (с абсолютно упругими отражениями) - только в одном частном случае: когда начальное расстояние между грузиками, т.е. в момент разрыва нити, равно длине распрямившихся плеч, делённой на корень из двух.

А если, как на рисунке ТС, начальное расстояние между грузиками много меньше максимального, то траектория каждого грузика будет не квадратной, а с острыми углами (типа как на рисунке, на который я давал ссылку выше: 03_view,jpg - в этом примере минимальное расстояние примерно в 10 раз меньше максимального).