Что это за спираль

[Krapivin]

Ну или семейство спиралей. Мои познания в математике поверхностные (инженер-механик), да и на пенсии, учиться и поздно и ни к чему уже, обращаюсь зв помощью.

Над картинками вверху первая цифра количество чёрных отрезков, через черточку красных. "Наткнулся" я на них именно в геометрическом виде строя массивы отрезков относительно точки (это команда так называется в чертёжной программе). Саму спираль проводил по точкам кривой Безье (она плавность придаёт).

То есть совершенно случайно обнаружил, немного позднее вывел и формулу для них (на удивление простой оказалась).
$\rho$=$\frac{\rho_0}{\cos(\frac{\alpha}{i})}$ или вот так складней будет

$$\rho=\rho_0\arccos(\frac{\alpha}{i})$$

$\rho$ - текущее значение радиус-вектора (так кажется?) спирали, $\rho_0$ - радиус начальной окружности, $\alpha$ - угол пройденный радиус-вектором, $i$ в случае геометрического представления спирали (точки на пересечениях отрезков прямых) целое число, при построении по точкам - любое.
Странное дело - ни поиск по запросу "математические спирали", ни по картинке не дали полного совпадения. Неизвестна такая спираль что ли? Правда она начинается не из начала координат, а из точки на начальной окружности, но всё равно странно. Ну, формат поста велит закругляться, добавлю только ссылки, где можно ознакомиться подробнее.
https://dzen.ru/a/aBZbQ9ualkPlGcrA
https://dzen.ru/a/aDGuz6KhK14AKAtM
https://dzen.ru/a/aOUFBSDO-AAgCtqL

[nongma]

Что-то я никак не соображу, как 2-я формула выводится из первой (?)

[Krapivin]

Эээ. Аж испугался, вроде это не выводится, а просто другая форма записи.

$$ \rho=\rho_0\frac{1}{\cos(\frac{\alpha}{i})}=\rho_0\arccos(\frac{\alpha}{i})$$

[Gagarin1968]

Krapivin в сообщении #1717084 писал(а):

$$ \rho=\rho_0\frac{1}{\cos(\frac{\alpha}{i})}=\rho_0\arccos(\frac{\alpha}{i})$$

Это неверно. Правильно так: $\rho=\rho_0\dfrac{1}{\cos \left (\dfrac{\alpha}{i}\right )}=\rho_0\sec \left (\dfrac{\alpha}{i}\right )$

[Krapivin]

Устыжен, я действительно так думал. Про секанс и косеканс забыл.

[Booker48]

Если косинус в знаменателе, то при увеличении угла он периодически будет обращаться в $0$.
Этого на первоначальном графике не видно что-то.

[Sender]

ИИ гугла подсказал, что это т.н. эписпираль.
https://en.wikipedia.org/wiki/Epispiral
Один из представителей семейства спиралей Котса.
https://en.wikipedia.org/wiki/Cotes%27s_spiral

[Krapivin]

Sender в сообщении #1717102 писал(а):

ИИ гугла подсказал, что это т.н. эписпираль.
https://en.wikipedia.org/wiki/Epispiral
Один из представителей семейства спиралей Котса.
https://en.wikipedia.org/wiki/Cotes%27s_spiral

Качественная разница поразила, не сразу и примешь сознанием, что это одно и тоже при разных значениях чисел входящих в формулу. Слишком глубокая мысль, не справляюсь... Абсолютно разные картинки, а формула у них одна и та же.
Благодарю за содействие.

[Booker48]

Krapivin в сообщении #1717179 писал(а):

Абсолютно разные картинки, а формула у них одна и та же.

Это просто значит, что формула вашей спирали - другая.

[Krapivin]

Booker48 в сообщении #1717180 писал(а):

Это просто значит, что формула вашей спирали - другая.

Извольте-с, категорически с вами не согласен. Я её выводил ещё ничего не зная об этом самом Котсе.

[EUgeneUS]

Booker48 в сообщении #1717180 писал(а):

Это просто значит, что формула вашей спирали - другая.

Нет, не значит.
Там от множителя при угле форма сильно зависит.

[Booker48]

Krapivin в сообщении #1717181 писал(а):

Я её выводил ещё ничего не зная об этом самом Котсе.

Я Котса тоже не читал. )))
Но в вашей формуле косинус в знаменателе, и при $\frac{\alpha}{i}=\frac{\pi}{2}+\pi k$ он (знаменатель) обращается в $0$.

[Krapivin]

Booker48 в сообщении #1717183 писал(а):

Но в вашей формуле косинус в знаменателе, и при $\frac{\alpha}{i}=\frac{\pi}{2}+\pi k$ он (знаменатель) обращается в $0$.

Это так, и радиус-вектор спирали при этом стремится в бесконечность (за пределы картинки то есть), но до этого спираль совершит много оборотов, вот как это выглядит для спирали с числом отрезков 50-51 (геометрическое представление) $i$ при этом равно 51

Близко к начальной окружности обороты слились синим цветом, чтобы показать полную картину надо или масштаб уменьшать, или картинку увеличивать. Где "корявость" линии, это просто потому что "привязки" трудно ловить.

[Booker48]

Krapivin, EUgeneUS
Понял, спасибо! Просто в бесконечность радиус-вектор будет "уходить" бесконечное число раз, т.е. "в целом" график будет вести сильно не так, как локально на вашей картинке.
Но - вы абсолютно правы, извините за неверный по существу комментарий.

[Krapivin]

Ну вообще-то под конец только будет стремиться к бесконечности, для этой спирали
$\frac{\alpha}{51}=90°$ → $90°\cdot51=4590°$ → $\frac{4590}{360}=12.75$
почти 13 оборотов перед этим сделав.