Диагональ в Канторовском методе

[Ximia]

Здарвствуйте!

Помогите, пожалуйста, прояснить затруднение с диагональю в Канторовском диагональном методе.3,6

Если извествно, множество бесконечных последовательностей 0 и 1 несчетно, то как посторить диагональню последовательнсоть, если количество 0 и 1 в последовательности счетно, а множество бесконечных последовательностей 0 и 1 несчетно, получается, что у диагональной последовательности кол-во 0 и 1 больше чем счетное множество ?

Спасибо.6,

[Ende]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: учебный вопрос.

[mihaild]

Ximia в сообщении #1717027 писал(а):

в Канторовском диагональном методе.3,6

К номеру параграфа было бы неплохо добавить название книги :)

Ximia в сообщении #1717027 писал(а):

получается, что у диагональной последовательности кол-во 0 и 1 больше чем счетное множество ?

Нет, не получается. Откуда вы это взяли?

[Geen]

Ximia в сообщении #1717027 писал(а):

Если извествно, множество бесконечных последовательностей 0 и 1 несчетно, то как посторить диагональню последовательнсоть

Зачем?

[Ximia]

Я по памяти.

Выписывается последовательность 0,1, которая означает 1 - входит в подмножество, 0 - не входит.
Так записывают одну последовательность под другой, для удобстува. Потом выбирают первую последовательность и первую позицию в ней и инветрируют, затем воторую последовательность и инверитруют вторую позицию и так далее.

Я использую натуральные числа, чтобы определить позицию в последовательности, а кол-во последовательностей несчетно, тогда как мне пострить эту диагональную последовательность, мне ведь не хватит счетного множеств ?

-- 02.02.2026, 18:18 --

Geen в сообщении #1717039 писал(а):

Ximia в сообщении #1717027 писал(а):

Если извествно, множество бесконечных последовательностей 0 и 1 несчетно, то как посторить диагональню последовательнсоть

Зачем?

Докзать, что эта последовательность действительно существует.

[Geen]

Ximia в сообщении #1717043 писал(а):

Докзать, что эта последовательность действительно существует.

Допустим, доказали, и что дальше?

[Anton_Peplov]

Ximia
Вы, по-видимому, где-то путаете нумерацию элементов последовательности (первый элемент, второй элемент...) и нумерацию самих последовательностей (первая последовательность, вторая последовательность...).
Элементы любой последовательности всегда пронумерованы, по определению. В том числе той, которую строит Кантор.
Что доказал Кантор? Предположим, что есть какая-нибудь нумерация самих последовательностей. А теперь построим по ней последовательность, которая не имеет номера (элементы этой последовательности пронумерованы, как и любой другой). Это противоречие доказывает, что никакой нумерации всех последовательностей не существует. То есть все последовательности пронумеровать не получится. Следовательно, множество последовательностей не счетно.

[Ximia]

Geen в сообщении #1717056 писал(а):

Ximia в сообщении #1717043 писал(а):

Докзать, что эта последовательность действительно существует.

Допустим, доказали, и что дальше?

раз она существует, значит докзательство верно

Anton_Peplov в сообщении #1717105 писал(а):

Ximia
Вы, по-видимому, где-то путаете нумерацию элементов последовательности (первый элемент, второй элемент...) и нумерацию самих последовательностей (первая последовательность, вторая последовательность...).
Элементы любой последовательности всегда пронумерованы, по определению. В том числе той, которую строит Кантор.
Что доказал Кантор? Предположим, что есть какая-нибудь нумерация самих последовательностей. А теперь построим по ней последовательность, которая не имеет номера (элементы этой последовательности пронумерованы, как и любой другой). Это противоречие доказывает, что никакой нумерации всех последовательностей не существует. То есть все последовательности пронумеровать не получится. Следовательно, множество последовательностей не счетно.

Я это понимаю, просто сам метод не ясен.

Если взять несчетную последовательность 0 и 1, и несчетное моножество таких несчетных последовательностей, то все равно можно построить диагональную последовательность ?

[mihaild]

Ximia в сообщении #1717117 писал(а):

Если взять несчетную последовательность 0 и 1

То получится красная линия зеленого цвета. Последовательность по определению счетная. Строгое определение последовательности: последовательность - это функция из натуральных чисел (куда-то).

Ximia в сообщении #1717117 писал(а):

Я это понимаю, просто сам метод не ясен.

Диагональный метод берет счетное множество последовательностей. Т.е. функцию, которая по натуральному числу выдает последовательность. И выдает последовательность, такую что исходно принесенная функция её никогда не выдает.

[Anton_Peplov]

Ximia в сообщении #1717117 писал(а):

Если взять несчетную последовательность 0 и 1

А что это такое - "несчетная последовательность"? Элементы последовательности по определению пронумерованы.

Есть понятие направленности, обобщающее понятие последовательности, но Вам в такие дебри лезть рано, раз даже с последовательностями есть трудности.

[Geen]

Ximia в сообщении #1717117 писал(а):

раз она существует, значит докзательство верно

Доказательство чего? Вы предположили, что набор последовательностей несчётен, и исходя из этого "доказали" его несчётность?

[Mikhail_K]

Ximia в сообщении #1717117 писал(а):

раз она существует, значит докзательство верно

Давайте я явно проговорю: в канторовом доказательстве не требуется строить диагональную последовательность для несчётного множества последовательностей.

Наоборот, берётся произвольное счётное множество последовательностей нулей и единиц (последовательность последовательностей), для неё строится диагональная последовательность, которой в этом множестве нет. Вывод - в нашем счётном множестве последовательностей присутствуют не все последовательности нулей и единиц. Таким образом, любой счётный набор последовательностей нулей и единиц неполный. Значит, полный набор (множество всех последовательностей нулей и единиц) - несчётен.

Ximia в сообщении #1717117 писал(а):

Если взять несчетную последовательность 0 и 1

Что такое несчётная последовательность? Последовательности - всегда автоматически счётные, так как по определению занумерованы натуральными номерами.

Ximia в сообщении #1717117 писал(а):

Если взять несчетную последовательность 0 и 1, и несчетное моножество таких несчетных последовательностей, то все равно можно построить диагональную последовательность ?

Это не требуется в доказательстве Кантора. Но если напишете этот вопрос более внятно, на него можно будет ответить (только уже это не будет относиться к диагональному доказательству в его "базовой версии").

[Null]

Ximia в сообщении #1717117 писал(а):

Если взять несчетную последовательность 0 и 1, и несчетное моножество таких несчетных последовательностей, то все равно можно построить диагональную последовательность ?

Вы про теорему о том что мощность множества всех подмножеств множества, не равномощна этому множеству?(теорема Кантора) Это правда, но в ее доказательстве таблица не строиться.

[Ximia]

Null в сообщении #1717159 писал(а):

(теорема Кантора)

Если такая функция $f(x)$ не существует, то тогда и можнество $B=\{x\in A: x \notin f(x)\}$ не существует ?

Каков общий "метод"? Сделаем допущение, из допущения следует противоречие, выкинем само допущение и все, что построено с помощью этого допущения до момента противоречия, исключая сам факт противоречия. Верно мое предпослдее утверждение?

[Mikhail_K]

Ximia в сообщении #1717189 писал(а):

Если такая функция $f(x)$ не существует, то тогда и можнество $B=\{x\in A: x \notin f(x)\}$ не существует ?

Верно. Но это никак не мешает справедливости доказательства по ссылке.

Ximia в сообщении #1717189 писал(а):

Сделаем допущение, из допущения следует противоречие, выкинем само допущение

Так работает доказательство от противного.
Конечно, после того как мы установили неверность допущения и отказались от него, противоречие исчезает.
Было бы странно, если бы оно не исчезло. Нет неверных допущений - нет и противоречия.

Доказательство от противного завершается там, где мы вывели противоречие из допущения. После этого мы делаем вывод - допущение неверно. Конечно, построенные нами в процессе доказательства объекты (которые были построены на основе неверного допущения) могут на самом деле и не существовать. Это ничему не мешает - главное, если бы допущение было верным, то они существовали бы и демонстрировали то, что нам нужно.