О чем предмет теории моделей

[maximk]

dgwuqtj в сообщении #1716199 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1716197 писал(а):

Но вообще, я не вижу никакого криминала, если считать моделями не множества.

У ТС вопрос не про содержание теории моделей, а про формальные основания математики. Обычно это ZFC, там и нумералы Чёрча, и объекты топосов, и натуральные числа, и записи являются множествами.

Если говорить про содержание, то модели у теорий первого порядка бывают и не теоретико-множественные. Стандартный пример — групповые объекты в декартовой категории являются моделями теории групп (правда, с ослабленной логикой). Но теорией моделей обычно всё-таки называют модели в категории множеств.

Просто подумалось, что вопрос невыводимости некоторого утверждения теории может быть сведен к определению его истинности в различных моделях. Тогда получается, что это сводимо к выводимости же в других теориях, раз уж модель и сама есть объект некой теории, как и истинность.

[Anton_Peplov]

maximk в сообщении #1716202 писал(а):

Допустим, определим для объектов этой теории понятие мощности. Да и всех других недостающих понятий. Будет ли этого достаточно?

Если всех других недостающих понятий - то, очевидно, этого будет достаточно.

maximk в сообщении #1716208 писал(а):

Просто подумалось, что вопрос невыводимости некоторого утверждения теории может быть сведен к определению его истинности в различных моделях.

Ну, выводимое утверждение в непротиворечивой теории истинно в любой ее модели. А что еще Вы пытаетесь сказать, для меня загадка.

maximk в сообщении #1716208 писал(а):

раз уж модель и сама есть объект некой теории

Все на свете может быть объектом некой теории, если ее построить. А про эту теорию можно что-то доказать в ее метатеории, и там дальше башня из черепах. Нету никакого "самого начала", не пытайтесь с него начать.

[maximk]

Я пытаюсь сказать лишь то, что понятие истинности в модели столь же мутное, сколь мутно само понятие модели, ибо как раз восходит к первочерепахе по черепахам аксиоматических метатеорий (множеств или еще каких)

[dgwuqtj]

maximk в сообщении #1716202 писал(а):

У арифметики Пеано есть нестандартные (опять же) модели. Допустим, определим для объектов этой теории понятие мощности. Да и всех других недостающих понятий. Будет ли этого достаточно?

Возьмите стандартный текст по матлогике и проверьте. Я даже не понимаю, как вы в арифметике будете записывать фразы вида "групповая операция на множестве $G$ — это отображение $G \times G \to G$ с такими-то свойствами." По-хорошему внутри арифметики вам нужно определить произведение "множеств", функции между ними, и выполнение всяких аксиом. Это уже кодирование какой-то декартовой категории внутри арифметики как минимум, а для интерпретации кванторов понадобится топос.

maximk в сообщении #1716208 писал(а):

Просто подумалось, что вопрос невыводимости некоторого утверждения теории может быть сведен к определению его истинности в различных моделях.

Вопрос о невыводимости утверждения теории — это вопрос о несуществовании некоторого комбинаторного объекта (формального вывода). То есть речь идёт про истинность другого утверждения, в другой теории.

EminentVictorians в сообщении #1716207 писал(а):

А сколько значков $\varnothing$ вы для этого рисуете?

От модели нужно, чтобы каждую замкнутую формулу можно было в ней проверить на истинность (не обязательно конструктивно, просто хоть в каком-то разумном смысле). Замкнутая арифметическая формула — это просто строка из чисел, переменных, арифметических и логических символов, в ней не может быть никаких $\varnothing$.

-- 25.01.2026, 20:12 --

maximk в сообщении #1716210 писал(а):

Я пытаюсь сказать лишь то, что понятие истинности в модели столь же мутное, сколь мутно само понятие модели, ибо как раз восходит к первочерепахе по черепахам аксиоматических метатеорий (множеств или еще каких)

Это лишь говорит о неудобстве вашего взгляда на математику как бесконечной иерархии метатеорий.

[warlock66613]

EminentVictorians в сообщении #1716207 писал(а):

Хм, в рамках чего?

Да всё равно. Можно в рамках теории множеств, можно в рамках чего-нибудь ещё. Просто добавляем в теорию новый вид объектов -- упорядоченные пары -- и определяем аксиомы для них. Это полностью покрывает все юзкейсы.

[maximk]

Что касается истинности. У Кейслера и Чэна указывалось, что значение истинности определяется через принадлежность некоторому множеству. Что ж, для доказательства ложности в модели в таком случае ставим вопрос о выводимости утверждения о принадлежности множеству. Если оно невыводимо, то при доказательстве этого при помощи утверждения ложности в модели снова по кругу приходим к вопросу о выводимости в некоторой теории. И так может быть до бесконечности.
А все из-за того, что, будучи строгими, сводим мутные понятия к конкретным понятиям аксиоматических теорий.

[EminentVictorians]

dgwuqtj в сообщении #1716212 писал(а):

Замкнутая арифметическая формула — это просто строка из чисел, переменных, арифметических и логических символов, в ней не может быть никаких $\varnothing$.

Формула это строка, да. А само 2 это множество $\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$ (если модель теоретико-множественная). Ну вот я и говорю, что не вижу проблем взять не теоретико множественную модель, где число 2 будет строкой "||".

[Someone]

maximk в сообщении #1716189 писал(а):

а почему в качестве модели мы не можем взять, скажем, объект теории арифметики Пеано?

Да кто же Вам запретит? Легко можно интерпретировать натуральные числа как наследственно конечные множества:
если $n=2^{k_1}+2^{k_2}+\ldots+2^{k_m}$, $0\leqslant k_1<k_2<\ldots k_m$, то ему соответствует множество $\{k_1,k_2,\ldots,k_m\}$.

[maximk]

dgwuqtj в сообщении #1716212 писал(а):

maximk в сообщении #1716202 писал(а):

У арифметики Пеано есть нестандартные (опять же) модели. Допустим, определим для объектов этой теории понятие мощности. Да и всех других недостающих понятий. Будет ли этого достаточно?

maximk в сообщении #1716208 писал(а):

Просто подумалось, что вопрос невыводимости некоторого утверждения теории может быть сведен к определению его истинности в различных моделях.

Вопрос о невыводимости утверждения теории — это вопрос о несуществовании некоторого комбинаторного объекта (формального вывода). То есть речь идёт про истинность другого утверждения, в другой теории.

А истинность формально вы как-то определяете? Или это некий неопределяемый "атом"?

[dgwuqtj]

maximk в сообщении #1716215 писал(а):

Что касается истинности. У Кейслера и Чэна указывалось, что значение истинности определяется через принадлежность некоторому множеству. Что ж, для доказательства ложности в модели в таком случае ставим вопрос о выводимости утверждения о принадлежности множеству. Если оно невыводимо, то при доказательстве этого при помощи утверждения ложности в модели снова по кругу приходим к вопросу о выводимости в некоторой теории. И так может быть до бесконечности.

К счастью, на практике всё или доказывается в исходной теории, или недоказуемо и это доказывается сразу в метатеории. Про примеры невыводимости в метатеории я что-то не слышал — наоборот, есть мнение, что метатеорию можно брать очень слабой.

-- 25.01.2026, 21:02 --

maximk в сообщении #1716221 писал(а):

А истинность формально вы как-то определяете?

Как в учебнике, индукцией по построению формулы.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1716216 писал(а):

Ну вот я и говорю, что не вижу проблем взять не теоретико множественную модель, где число 2 будет строкой "||".

А, вот Вы о чем. А я думал, нарисуете на бумажке палочек, сколько поместится, и скажете "это мои новые натуральные числа с кафедрой и аспирантками". || - это буквально запись числа 2 в унарной системе счисления. Можно ли так смоделировать арифметику Пеано? Конечно, если правильно определить операции над палочками. Так же как можно ее смоделировать через кортежи цифр десятичной системы счисления. Не считая цифры никакими множествами. Но совокупность этих палочек, или цифр, или чертей в ступе все равно нужно как-то обозвать. Обычно обзывают множеством. Но Вы можете обозвать их столом. Или пивной кружкой.

Вообще, натуральные числа кодируют как кучки из $\varnothing$ не потому, что это удобнее всего, или это единственный путь, или так можно про них понять что-то новое. Причины тут исторические. Математика огромна и разнообразна, и математики искали язык, на котором можно при необходимости выразить любую (ну или почти любую) теорему. Нашли ZFC. Ну а чтобы убедиться, что действительно можно, надо хотя бы построить натуральные числа и дать определение функции. Остальное приложится.

Кроме того, в рамках теории множеств нужно сформулировать, что такое счетное множество, и полезно сделать это самыми экономными средствами: прямо через ранее определенные множества, не таская понятия из метатеории без необходимости.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1716225 писал(а):

Конечно, если правильно определить операции над палочками.

Палочки расположены как-то так:

|
||
|||
||||
...

Последователь - это операция "посмотреть на одну :) строчку ниже". Сложить - это конкатенация двух строк. Что такое конкатенация считаем данным из базовых возможностей человеческого ума.

Anton_Peplov в сообщении #1716225 писал(а):

Но совокупность этих палочек, или цифр, или чертей в ступе все равно нужно как-то обозвать. Обычно обзывают множеством.

Если неформальным множеством, то ок, никаких проблем. Но моделировать это все в формальной ZFC - это противоречит самой сути этой модели.