Курс матанализа по Гейне

[Dedekind]

В тему вот этого сообщения.

nnosipov в сообщении #1716011 писал(а):

современный типовой студент не в состоянии понять смысл прочитанного определения даже не слишком сложного понятия.

Наткнулся тут на хабре на вот такую статью. https://habr.com/ru/articles/964282/ . После предисловия можно смотреть сразу Часть 3. Основная идея в двух словах: везде использовать определение предела по Гейне, т.к. определение по Коши (с кванторами и эпсилон-дельтами) хуже усваиваются средним студентом.

Было бы интересно услышать Ваше, nnosipov, мнение, а также всех остальных. Согласны ли вы с высказанными идеями автора по поводу проблем традиционного преподавания, и может ли его подход быть альтернативой?
Лично мне кажется, что здравые мысли есть. Но ограничиваться одним определением все равно однобоко. Может, по Гейне и будет понятнее для начала, но потом все равно нужно давать Коши и показывать эквивалентность.

[Combat Zone]

Для чего-то удобнее Гейне, для чего-то Коши.
В статье довольно много ошибок, в том числе в определении предела по Гейне :)
И стиль какой-то из серии "возьмем все, что есть в доме..."

Там комменты интереснее.

[nnosipov]

Dedekind
Почитаю статью, похоже, там может быть интересно. Но я имел в виду алгебру, она проще в методическом плане, чем матан (который я, кстати, никогда не преподавал, разве что несколько раз заменял коллег на их занятиях, но это ерунда).

Завтра отпишусь, "сегодня я с большой охотою распоряжусь своей субботою", неохота напрягаться)

[Mikhail_K]

Dedekind
1) Мне тоже определение предела функции по Гейне кажется удобнее, чем по Коши, и я в первую очередь всегда стараюсь использовать определение по Гейне. Да и не мне одному - кажется, большинству людей определение по Гейне удобнее. Поэтому в курсе мат.анализа оно часто и используется.
2) Автор явно драматизирует и преувеличивает. Я такого не наблюдаю, что в мат.анализе слишком часто используется определение по Коши, где можно использовать определение по Гейне. А в своём наброске, например, автор ничего не говорит про арифметику пределов последовательностей. К слову, определение предела последовательности из наброска мне не кажется самым простым и понятным. Проще так: $\{x_n\}\to a$ тогда и только тогда, когда любая окрестность точки $a$ содержит все члены последовательности $\{x_n\}$, начиная с некоторого номера. Но это фактически определение через $\varepsilon$ на языке слов, и ничего страшного в нём нет.
3) Идея исключить определение предела по Коши из курса математического анализа вообще - звучит анекдотично.
4) Виро, Иванов, Нецветаев и Харламов в известной книге "Элементарная топология" высказывают противоположную мысль: что определения на языке окрестностей (т.е. по Коши) практически всегда проще и удобнее, чем на языке пределов (т.е. по Гейне), но по историческим причинам в курсе мат.анализа слишком часто используются определения по Гейне, а зря. Мне эта мысль не близка, однако же есть и такая.
5) Поменьше пафоса и реформаторства - и у автора получилось бы неплохое "образное введение в мат.анализ для чайников". Подобные научно-популярные разъяснения, конечно, нужны.

[пианист]

Данный автор очень много пишет на хабре. Хозяевам хабра есть смысл задуматься, а не стоит ли создать раздел сайта под названием "master_program".
Голосую за Коши, если что.

[sydorov]

Dedekind в сообщении #1716050 писал(а):

Может, по Гейне и будет понятнее для начала, но потом все равно нужно давать Коши и показывать эквивалентность.

Разве не в таком порядке построено изложение у Ильина-Позняка?

Мне, как "слабому студенту", наоборот, определение предела по Коши показалось куда более понятным. Понял я его не мгновенно, но, как обычно для меня, очень помогла геометрическая иллюстрация.

[nnosipov]

Цитата:

Но если человеку не интересно, если он не мотивирован, не задаёт вопросы, не умеет их задавать, то как ни прыгайте, как ни пляшите с бубном - ничего не получится.

Это нашел в одном из комментов к статье. Полностью совпадает с моим взглядом на преподавание. В общем, надуманная проблема. Автор, кстати, ведет группу по продвинутой олимпиадной математике в ВШЭ. Уж на этом-то уровне студентам точно должно быть без разницы, как определять понятие предела, оба варианта воспримут легко.

Чего там вообще можно не понять, в этих эпсилонах-дельтах из 1-го семестра матана В конце концов, берем школьный учебник "Алгебра и начала математического анализа", там с картинками.

Да, еще забавный момент: автор попреподавал в провинциальном университете годик, и ему это не понравилось (дескать, никто не понимает, ни студенты, ни преподаватели, никого невозможно научить и т.п.). Ясен пень, что если работать со сливками, собираемыми со всей страны, то это совсем другое. А ты поработай-ка с "обычными" студентами, и не годик-другой, а лет так десять-пятнадцать, чтобы прочувствовать, что это такое. Тогда, глядишь, и понимание придет, почему в провинции преподают так, как получается.

[Combat Zone]

nnosipov в сообщении #1716125 писал(а):

Автор, кстати, ведет группу по продвинутой олимпиадной математике в ВШЭ. Уж на этом-то уровне студентам точно должно быть без разницы, как определять понятие предела, оба варианта воспримут легко.

Автор в первую очередь репетитор (цитата из него же, в комментах):

Цитата:

Тут не причём совершенно то, что я физик. В первую очередь дело в том, что я преподаватель, причём такой, доход которого существенно зависит от способности объяснить тему понятно.

Кванторное определение - это уровень сложности задачи ЕГЭ с параметром из письменной части, с ним смогут работать 1 % выпускников школы, а поймут вообще намного меньше.

Наглядное объяснение - это уровень сложности тестовой части ЕГЭ, причём первых задач оттуда, его можно почти всем объяснить.

Что он там объясняет олимпиадникам из физтеха у меня как-то не складывается.

[EminentVictorians]

nnosipov в сообщении #1716125 писал(а):

Чего там вообще можно не понять, в этих эпсилонах-дельтах из 1-го семестра матана

Ну вот я их понял, но мне они психологически не нравятся. Хочется иметь матанализ с актуальными бесконечно малыми. Определение предела понять можно, но мне кажется оно правда сложное. Сложное не в понимании, а в применении. Наверное лучше было бы даже сказать не сложное, а неудобное.

Проблема в том, что определение предела слишком замусорено техническими деталями (причина которых, как я это на данный момент вижу, в теоретико-множественной природе всего этого процесса).

[Dedekind]

Прошу прощения, что начал тему и забросил, привалила куча работы.

nnosipov в сообщении #1716125 писал(а):

А ты поработай-ка с "обычными" студентами, и не годик-другой, а лет так десять-пятнадцать, чтобы прочувствовать, что это такое. Тогда, глядишь, и понимание придет, почему в провинции преподают так, как получается.

Вот в этом-то и весь вопрос: можно ли облегчить курс так, чтобы увеличить его доступность даже для средних, а не специально отобранных, студентов. Вот, например, наткнулся на еще один вариант. Но это уже история для другой темы.

Mikhail_K в сообщении #1716070 писал(а):

А в своём наброске, например, автор ничего не говорит про арифметику пределов последовательностей.

Тоже можно по Гейне, в том же Ильине, Позняке так и делается. Непонятно только, проще ли это. И еще непонятно, как это измерить. Возможно, у кого-то тут был личный опыт преподавания по такому подходу (без Коши). Если да, то было бы интересно послушать, насколько студентам было понятно.

nnosipov в сообщении #1716125 писал(а):

Чего там вообще можно не понять, в этих эпсилонах-дельтах из 1-го семестра матана

Ну, это с высоты опыта так кажется:) А на самом деле при первом (а также втором/третьем/четвертом) прочтении - не самая простая тема, помню по себе.

EminentVictorians в сообщении #1716139 писал(а):

Проблема в том, что определение предела слишком замусорено техническими деталями (причина которых, как я это на данный момент вижу, в теоретико-множественной природе всего этого процесса).

Одно дело отказаться от определения по Коши, другое - от теории множеств. Второе слишком радикально, как по мне, я бы для студентов такое не обсуждал:)

[пианист]

Dedekind в сообщении #1718042 писал(а):

Прошу прощения, что начал тему и забросил, привалила куча работы.

nnosipov в сообщении #1716125 писал(а):

Чего там вообще можно не понять, в этих эпсилонах-дельтах из 1-го семестра матана

Ну, это с высоты опыта так кажется:) А на самом деле при первом (а также втором/третьем/четвертом) прочтении - не самая простая тема, помню по себе.

Так и Вы тоже рассуждаете с высоты (своего) опыта. Вам кажется, что привлечение последовательностей к рассуждениям о функции что-то упрощает, но Вы-то уже хорошо знакомы и с функциями, и с последовательностями.

[mihaild]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1716125 писал(а):

Чего там вообще можно не понять, в этих эпсилонах-дельтах из 1-го семестра матана

Кому что. Лично у меня были большие проблемы с матаном пока я не наткнулся на Рудина. В нём почему-то всё понятно было.
Но по наблюдениям за окружающими и форумом (преподавать матан я не пробовал, хотя приходилось на пальцах немного объяснять интегралы для курса алгоритмов) - я не думаю, что это был бы хороший универсальный подход.

[Dedekind]

пианист в сообщении #1718045 писал(а):

Так и Вы тоже рассуждаете с высоты (своего) опыта. Вам кажется, что привлечение последовательностей к рассуждениям о функции что-то упрощает,

Нет, мне по своему опыту так не кажется. Но поэтому я и хочу абстрагироваться от него и послушать про опыт других и понять, прав ли в чем-то автор статьи. В идеале, послушать бы студентов, которых учили по такому подходу, но сомневаюсь, что такие тут найдутся:)
mihaild
Да, Рудин довольно абстрактный сходу. Я пытался на первом курсе - и не вывез. Сейчас уже, конечно, проблем с ним меньше, почти все понятно.

[пианист]

Dedekind
Значит, я не понял.
Определение Коши хорошо тем, что в нем не задействуется ничего, кроме понятия функции (и элементарных арифметических знаний).

[gefest_md]

Предел $\lim_{x\to 3}2x+1=7$ приведённый автором в начале статьи можно доказать по Коши, но от противного, используя последовательность $\left\{\frac{1}{n}\right\}.$ Тогда получится противоречие с аксиомой Архимеда. Заниматься «подгонкой ответа» уже не нужно, но надо знать аксиомы.