Одна нигде не дифференцируемая функция.

[Dedekind]

Задача: пусть $h(x) = |x|$ на $[-1;1]$ и продолжена на всю числовую прямую так, что $h(x+2) = h(x)$. Пусть

$$g(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}\dfrac{1}{2^n}h(2^nx)$$

Доказать, что у $g$ есть максимум на промежутке $[0;2]$ и найти его.

Наличие максимума очевидно, по теореме о максимальном значении непрерывной функции на компактном $[0;2]$. С нахождением максимума застрял. С помощью рассматривания графика функции и некоторых нестрогих рассуждений, предполагаю, что максимум достигается в точке $x=2/3$. Но не совсем понятно, как это доказать (или опровергнуть) строго.

Вложение:

Screenshot 2026-01-23 083332.png

[nnosipov]

Dedekind
Это известный сюжет про функцию бланманже (можно посмотреть, например, здесь https://habr.com/ru/post/264941).

[Dedekind]

nnosipov
Спасибо! Буду разбирать.

[B@R5uk]

Если g сплюснуть по x и по y в 2 раза, а потом к результату добавить h, то получится снова g. Может поможет? Обратная процедура тоже работает.

[Dedekind]

B@R5uk в сообщении #1715940 писал(а):

Если g сплюснуть по x и по y в 2 раза, а потом к результату добавить h, то получится снова g. Может поможет? Обратная процедура тоже работает.

Спасибо, это помогло в следующей задаче, на доказательство недифференцируемости этой функции.

[Padawan]

Dedekind
А как Вы доказываете нигде не дифференцируемость $g(x)$?

[B@R5uk]

Padawan, за счёт старших слагаемых ряда точки излома функции заполняют всю область определения h плотно. Более того, за счёт всё тех же слагаемых касательная к графику h в точках вида

$$x_{m,k}=\frac{m}{2^k}\qquad m,k\in\mathbb{Z}$$

вертикальна (потому что начиная с некоторого n левые и правые производные в такой точке у всех слагаемых равны $\pm 1$ и суммируются в бесконечность). Это пока только наблюдение, но его, я думаю, можно формализовать в строгое доказательство.

[Dedekind]

Padawan
Да, примерно так как написал B@R5uk. Сначала доказываем, что функция не дифференцируема в точках вида $\dfrac{p}{2^k}$, для чего использовалось вот это свойство

B@R5uk в сообщении #1715940 писал(а):

Если g сплюснуть по x и по y в 2 раза, а потом к результату добавить h, то получится снова g.

Потом, для любой точки $x$ не такого вида заключаем ее в набор сходящихся интервалов $\left[\dfrac{p_m}{2^m},\dfrac{p_m+1}{2^m} \right]$ и доказываем, что последовательность $g'_m(x) = \dfrac{g\left(\dfrac{p_m+1}{2^m}\right) - g\left(\dfrac{p_m}{2^m}\right)}{\dfrac{p_m+1}{2^m} - \dfrac{p_m}{2^m}}$ не является последовательностью Коши (т.к. разность соседних членов всегда равна $\pm 1$, т.е. наклону $h_{m+1}$). Следовательно, и предела, который должен был быть равен производной в $x$ - не существует.

[Padawan]

Dedekind
Понял, спасибо!