Если любой эл. обратен самому-себе то группа-Абелева. Док-во

[cxzbsdhwert]

Нашёл доказательство того, что любой элемент должен быть левым обратным. Это переиспользование части общего доказательства из сообщения выше, которая, кстати, тоже была не полностью верна. Предыдущее доказательство пожалуйста игнорируйте.

От обратного: пускай в полугруппе есть левый нейтральный $e$ и для каждого есть левый обратный, но существует элемент $x$, который сам левым обратным ни к кому не является.
I. По условию, тем не менее у $x$ есть левый обратный $y$. Тогда можно утверждать что $yx=e$, но $xy=z\neq e$ - поскольку, раз $x$ не является ни для кого левым обратным, но и в том числе для своего левого обратного.
Тогда $y(xy)=yz$, но $(yx)y=y$, следовательно $yz=y$, но $z=xy$.
Таким образом $y(xy)=y$

Значит для соблюдения ассоциативности любой левый обратный (который есть у всех по условию) в паре с парой: слева - элемента к которому он явл. левым обратным; справа - он сам (левый обратный), должен отображаться в себя т.е.

$$a^{-1}_{_{\text{левый}}}\circ(a\circ a^{-1}_{_{\text{левый}}}) = a^{-1}_{_{\text{левый}}}. (1)$$

А это значит, что пара любого элемента расположенного слева со своим обратным слева, расположенным справа, т.е. $a\circ a^{-1}_{_{\text{левый}}}$ обязана быть равна правому нейтральному, ну или левому $e$, поскольку существования правого мы ещё не доказали? Вообще-то нет.
Может быть для каждого элемента $a$, пара $aa^{-1}$ хоть и отображает $a^{-1}(aa^{-1})$ в $a^{-1}$, но она разная для каждого $a$, не равна левому нейтральному, а значит не подходит под определение правого нейтрального, а значит и $a$ не является левым обратным к $a^{-1}$, что мы в итоге и хотим получить.

II. И вот спустя четыре часа, доказательство, что если $a^{-1}aa^{-1}=a^{-1}$, то $aa^{-1}$ обязано быть левым обратным я нашёл. А точнее даже более сильное утверждение - для любого $x$, имеющего левый обратный, если $xy=x$, то $y$ - левый нейтральный. Доказательство:

$$xy=x$$

$$(x^{-1}x)y=ey=y$$

$$x^{-1}(xy)=x^{-1}x _{\text{ (по условию xy=x)}}$$

$$x^{-1}(xy)=x^{-1}x=e$$

Тогда

$$(x^{-1}x)y=(y=e)=x^{-1}(xy) \Rightarrow y=e$$

III. Таким образом, возвращаясь к $(1)$, $(aa^{-1})$ обязано быть левым нейтральным, а значит для любого левого обратного $a^{-1}$, который по условию есть у любого $a$, существует свой левый обратный - этот же $a$, а значит не только у любого элемента есть левый обратный, но и любой элемент является левым обратным (своего левого обратного), Ч.Т.Д.

Самое ироничное что это и доказательство всего утверждения - поскольку:
1) Тот факт, что каждый элемент является левым обратным к своему левому обратному означает что у каждого элемента есть правый обратный - Ч.Т.Д.
2) А доказательство существования правого нейтрального, с учётом доказанности верхнего пункта - фактически в секции II - Ч.Т.Д.

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1714839 писал(а):

Именно что для конечного. А утверждение верно и для бесконечных полугрупп

Кстати, это доказательство теперь не зависит от мощности множества.

[mihaild]

cxzbsdhwert в сообщении #1714908 писал(а):

Тогда можно утверждать что $yx=e$, но $xy=z\neq e$ - поскольку, раз $x$ не является ни для кого левым обратным, но и в том числе для своего левого обратного.
Тогда $y(xy)=yz$, но $(yx)y=y$, следовательно $yz=y$, но $z=xy$.
Таким образом $y(xy)=y$

Это верно, но слишком длинно. Вводить $z$ совершенно не обязательно, думать о $xy \neq e$ тоже. Просто по ассоциативности, $y(xy) = (yx)y = (e)y = y$.

cxzbsdhwert в сообщении #1714908 писал(а):

$$(x^{-1}x)y=(y=e)=x^{-1}(xy) \Rightarrow y=e$$

Тут можно понять, что Вы всё думаете правильно, но запись опять же неудачная. И в целом, делается короче:

$$xy = x$$

$$x^{-1} xy = x^{-1}x$$

$$ey = e$$

$$y = e$$

cxzbsdhwert в сообщении #1714908 писал(а):

А доказательство правого нейтрального фактически в секции II

Как-то не видно, где там что-то про правый нейтральный.

[cxzbsdhwert]

mihaild в сообщении #1714911 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1714908 писал(а):

А доказательство правого нейтрального фактически в секции II

Как-то не видно, где там что-то про правый нейтральный.

1. В секции I доказано что для любого левого обратного $m$ существует такое $n$, что $mn=m$.
2. В секции II доказано что тогда $n$ обязано совпадать с левым нейтральным и по своему свойству не изменять, но пока только левый обратный, в паре с ним справа.
3. Это почти совпадает с определением правого нейтрального, но правый нейтральный должен быть правым нейтральным для любого элемента множества, а доказано пока только для тех элементов, которые являются левыми обратными.
4. Ну и как я написал, с учётом того, что доказано, что любой элемент является левым обратным к кому-то, то существование правого нейтрального доказано для всех.

[mihaild]

Да, вроде бы всё правильно.

Одно из стандартных доказательств такое.
Пусть $x'$ - левый обратный к $x$, $e$ - левый нейтральный. $x' x x' = x'$. Домножим обе части на $x''$ слева: $x x' = x'' x' x x' = x'' x' = e$. Таким образом, $x'$ еще и правый обратный к $x$. Проверим, что $e$ - правый нейтральный: $xe = x (x'x) = (xx')x = ex = x$.

Примерно то же, что и Вы придумали, но меньше шагов.

[cxzbsdhwert]

mihaild в сообщении #1714914 писал(а):

Одно из стандартных доказательств такое.

Ну и что, @F111mon - "перегнул", или это "задачка", которую решают за 5 минут в первом семестре? Я ещё понимаю предыдущие задачи которые Вы предложили решить (и я их решил), ладно ещё задача которую дал Лектор, и с которой началась данная тема. Но это по-моему было жестоковато.

[mihaild]

cxzbsdhwert в сообщении #1714916 писал(а):

Ну и что, @F111mon - "перегнул", или это "задачка", которую решают за 5 минут в первом семестре?

Вообще да, стандартная задача для начала 1го семестра. Не уверен, что на 5 минут, но на коллоквиуме ИМХО вполне уместна.

[cxzbsdhwert]

Ладно, спасибо всем за дополнительные задачи, комментарии и помощь