Если любой эл. обратен самому-себе то группа-Абелева. Док-во

[cxzbsdhwert]

Заканчивая тему элементов линейной алгебры, заглянул немного во второй модуль лекций, который начинается с алгебраических структур, где почти в начале была дана такая задача:

Цитата:

Дана группа $(G,\circ)$, такая что для любого элемента группы $g\in (G,\circ)$ верно $g\circ g=e$, где $e$ - нейтральный эл. $(G,\circ)$.
Доказать что тогда $(G, \circ)$ коммутативна.

Я решил так: пусть $a,b$ - произвольные элементы $(G,\circ)$. Покажем что $a\circ b=b\circ a$:
$a \circ b = ((b\circ b)\circ a)\circ b = ((b\circ b)\circ a)\circ (b \circ (a\circ a)) = (b\circ ((b \circ a) \circ (b \circ a))) \circ a= $ $ (b\circ e)\circ a=b\circ a$

Но опять как-то чисто механически получается, жонглирование символами по некоторым правилам. Нет ли более осмысленного объяснения почему такая группа коммутативна? Может это будет объясняться потом?

(Оффтоп)

Само разумное объяснение не прошу приводить, мне интересно есть ли оно

Я вот думал может какая-то типо симметрия возникает вокруг каждого элемента в связи с тем что он обратен самому-себе, и как-то это приводит к коммутативности. Ещё были мысли о том что обратный-то элемент может быть не один, вот может как-то этот факт учитывать (но немного об этом думав, могу предположить, что если на множестве задана операция такая что у элементов (каждого? хотя бы одного?) больше одного обратного, то такая операция не будет ассоциативной)

[mihaild]

cxzbsdhwert в сообщении #1714537 писал(а):

Ещё были мысли о том что обратный-то элемент может быть не один

Не может (докажите, если не очевидно).

Есть некоторые другие объяснения, но я не уверен, что они "более осмысленные". Например коммутант такой группы тривиален (считается явно).

[svv]

cxzbsdhwert в сообщении #1714537 писал(а):

$a \circ b = ((b\circ b)\circ a)\circ b = ((b\circ b)\circ a)\circ (b \circ (a\circ a)) = (b\circ ((b \circ a) \circ (b \circ a))) \circ a= $ $ (b\circ e)\circ a=b\circ a$

Можно немного короче и, в каком-то смысле, симметричнее. Попробуйте найти.

[cxzbsdhwert]

svv в сообщении #1714540 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1714537 писал(а):

$a \circ b = ((b\circ b)\circ a)\circ b = ((b\circ b)\circ a)\circ (b \circ (a\circ a)) = (b\circ ((b \circ a) \circ (b \circ a))) \circ a= $ $ (b\circ e)\circ a=b\circ a$

Можно немного короче и, в каком-то смысле, симметричнее. Попробуйте найти.

Как написал @dedekind (только уже удалил)? Если да, то я успел прочитать, поскольку @dedekind не спрятал решение в спойлере.

(Оффтоп)

$ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba$. Я правда пока не очень понял почему $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$, но подсказывать пожалуйста не надо

-- 12.01.2026, 18:13 --

mihaild в сообщении #1714539 писал(а):

Не может (докажите, если не очевидно)

Вообще не может, или так чтобы это было группой? И "не может" - чтобы у всех было больше одного обратного, или даже чтобы у хотя бы одного было больше одного?

[mihaild]

cxzbsdhwert в сообщении #1714543 писал(а):

Вообще не может, или так чтобы это было группой?

Чтобы это было группой. В группе у каждого элемента ровно один обратный.

[Dedekind]

cxzbsdhwert в сообщении #1714543 писал(а):

Как написал @dedekind (только уже удалил)? Если да, то я успел прочитать, поскольку @dedekind не спрятал решение в спойлере.

Да, прошу прощения, я написал, но потом увидел пост svv и решил удалить, чтобы Вы сами подумали

[cxzbsdhwert]

Dedekind
Вины тут нет, поскольку я заранее краем глаза видел что там формула и сознательно посмотрел. Хотя стараюсь конечно так не делать, просто я же всё равно уже решил и это наверное не что-то очень важное.

-- 12.01.2026, 18:53 --

mihaild в сообщении #1714546 писал(а):

Чтобы это было группой. В группе у каждого элемента ровно один обратный.

Ну так чтобы у каждого было два обратных не может быть, потому что это точно приводит к противоречию в случае с нейтральным элементом.

Получится два разных обратных элемента в паре с нейтральным, который (нейтральный) по определению, должен отображать в элемент который с ним в паре, то есть в первый обратный в первом случае и во второй обратный во втором случае, то есть отображаться в разные элементы по условию, и в то же время, по определению обратного, разные обратные в паре с тем к чему они обратные должны отображаться в один и тот же элемент - в нейтральный. Противоречие.

[mihaild]

cxzbsdhwert в сообщении #1714551 писал(а):

Получится два разных обратных элемента в паре с нейтральным, который (нейтральный) по определению, должен отображать в элемент который с ним в паре, то есть в первый обратный в первом случае и во второй обратный во втором случае, то есть отображаться в разные элементы по условию, и в то же время, по определению обратного, разные обратные в паре с тем к чему они обратные должны отображаться в один и тот же элемент - в нейтральный

Это гораздо лучше писать формулами, такие тексты читать очень тяжело.
Пусть $a$ и $b$ - два обратных к нейтральному $e$. Докажите, что $a = b$.
Потом пусть $a$ и $b$ - два обратных к какому-то $c$. Докажите, что опять же $a = b$.

[Anton_Peplov]

cxzbsdhwert в сообщении #1714543 писал(а):

Я правда пока не очень понял почему $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$, но подсказывать пожалуйста не надо

Докажите, что это так для произвольных элементов любой группы.

[dgwuqtj]

cxzbsdhwert в сообщении #1714543 писал(а):

Вообще не может, или так чтобы это было группой?

В группе обратные элементы уже в каком-то смысле заданы. Так что следующая формулировка может лучше пояснять суть: в любом моноиде у каждого элемента есть не больше одного обратного. Моноид — это множество с ассоциативной операцией и двусторонней единицей, например, все матрицы $n \times n$ образуют моноид относительно умножения.

Причём в моноиде если $x$, $y$ обратимы, то $x y$ обратим и $(x y)^{- 1} = y^{- 1} x^{- 1}$.

[B@R5uk]

cxzbsdhwert в сообщении #1714537 писал(а):

$a \circ b = ((b\circ b)\circ a)\circ b = ((b\circ b)\circ a)\circ (b \circ (a\circ a)) = (b\circ ((b \circ a) \circ (b \circ a))) \circ a= $ $ (b\circ e)\circ a=b\circ a$

Но опять как-то чисто механически получается, жонглирование символами по некоторым правилам.

Я бы это так записал:

$$ab=(bb)ab(aa)=b(ba)(ba)a=ba$$

Ровно то же самое, но чуть более прозрачно. И на мой взгляд, это есть шикарное решение вашей задачи. Теория групп как раз про минимум правил и про то, что из них всякого такого интересного получается. Меня до сих пор до глубины души поражает, как из простейшего определения группы в 3 пункта с дополнительным условием конечности порядка группы следует бесконечная (и бесконечно разнообразная) последовательность групп малого (а за ними и не малого) порядка.

[cxzbsdhwert]

mihaild в сообщении #1714555 писал(а):

1. Пусть $a$ и $b$ - два обратных к нейтральному $e$. Докажите, что $a = b$.
2. Потом пусть $a$ и $b$ - два обратных к какому-то $c$. Докажите, что опять же $a = b$.

1. $ae=e$, $be=e$; $\Rightarrow$ $ae=be\Rightarrow a=b$
2.$ac=e$, $bc=e$; $\Rightarrow$ $(a(ac)=a) \Rightarrow (a(bc)=a) \Rightarrow (a(cb)=a) \Rightarrow ((ac)b=a) \Rightarrow (eb=a) \Rightarrow b=a$

[mihaild]

cxzbsdhwert в сообщении #1714567 писал(а):

$a(cb) = a$

А это откуда взялось?
(и еще замечание по оформлению: когда вот такая цепочка равенств, стоит указывать, из каких конкретно уже имеющихся равенств получается очередное)

[cxzbsdhwert]

mihaild в сообщении #1714569 писал(а):

cxzbsdhwert в сообщении #1714567 писал(а):

$a(cb) = a$

А это откуда взялось?

Из ошибочного предположения о том, что группа Абелева.

Тогда $(bc)a=a \Rightarrow b(ca)=a \Rightarrow be=a \Rightarrow b=a$ что-ли? По определению, нейтральный элемент коммутативен, поэтому можем записать $bc$ слева от $a$.

[F111mon]

Раз уж пошло обсуждение оснований теории групп, можете доказать, что для группы достаточно левого обратного и левой единицы?