Теорема Коши о среднем значении

[Padawan]

Блин, на кривой существует точка, в которой вектор скорости $(f'(t),g'(t))$ линейно зависим с вектором перемещения $(f(b)-f(a), g(b)-g(a))$. Это верно только для плоских кривых.

[Dedekind]

Mikhail_K
В другом чате мне привели такой аргумент: заменять условие таким образом

Dedekind в сообщении #1714436 писал(а):

Вопрос: насколько необходимо условие $g'(x)\ne 0$ именно на всем интервале, и нельзя ли его ослабить? Скажем, потребовать, чтобы $g(b) - g(a) \ne 0$ и $g'(c)\ne 0$ только в той точке $c$, в которой выполняется $(f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)$?

нельзя, потому что теорема не дает способа узнать точку $c$, а только гарантирует ее существование. Поэтому, нет способа установить, что действительно $g'(c)\ne 0$, чтобы использовать дробную форму. Вроде как выглядит правдоподобно.

[Mikhail_K]

Dedekind
Я тоже вначале хотел это сказать. Но решил сказать так:

Mikhail_K в сообщении #1714473 писал(а):

Ну, из существования точки $c$ такой, что $(f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)$ и справедливости $g(b) - g(a) \ne 0$ и $g'(c)\ne 0$ в этой точке, разумеется, следует, что для этой точки $c$ справедливо $\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$.
Просто обычно теорему Коши и формулируют, и доказывают без упоминания равенства $(f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)$. Это часто удобно, и тогда формулировка теоремы Коши как она есть - вполне естественна.

Mikhail_K в сообщении #1714478 писал(а):

Да, можем, но тогда удобнее её вообще формулировать не на языке равенства отношений, а на языке $(f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)$. Это будет короче и яснее.

Формально, если опираться на предварительно доказанную теорему о существовании точки $c$ такой, что $(f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)$, можно сформулировать теорему Коши на языке отношений как Вы хотели, потребовав $g^\prime(c)\neq 0$ именно в этой точке $c$ (в хотя бы одной из таких точек $c$, говоря точнее) - только это будет тривиально и не нужно.

-- 11.01.2026, 23:04 --

Dedekind в сообщении #1714485 писал(а):

нельзя, потому что теорема не дает способа узнать точку $c$, а только гарантирует ее существование. Поэтому, нет способа установить, что действительно $g'(c)\ne 0$

Чисто формально, можно, хотя действительно незачем

[Dedekind]

Mikhail_K в сообщении #1714486 писал(а):

Чисто формально, можно, хотя действительно незачем

Я все еще не совсем понял, почему незачем. Но уже устал над этой теоремой думать, отложу ее пока, пожалуй. Возможно, потом прояснится. В любом случае, всем большое спасибо за ответы!