О сложении синусов

[Neznajka_]

Ende
Выделено из темы «Элементарная алгебра для отстающих»

Т.е., согласно указанного выше порядка, нельзя сделать преобразование, например $sin\frac{\pi}{2} + sin \frac{\pi}{2} = 2sin \frac{\pi}{2} = 2\cdot1=2$ , такая запись будет не верна что-ли?
Вот так единственно верно $sin\frac{\pi}{2} + sin \frac{\pi}{2} = 1+1 = 2$ ?

[sydorov]

Neznajka_
Порядок действий определяет правила вычисления значения выражения, но не запрещает выполнять тождественные алгебраические преобразования.

[Neznajka_]

sydorov в сообщении #1712955 писал(а):

Neznajka_
Порядок действий определяет правила вычисления значения выражения, но не запрещает выполнять тождественные алгебраические преобразования, если они не изменяют значение выражения.

Как тождественное преобразование может изменить значение выражения?
Разве вычисление не подразумевает тождественных преобразований?

[sydorov]

Neznajka_

(Оффтоп)

Я неправильно сформулировал фразу и чуть позже подкорректировал. Нужно было сразу написать "так как они не изменяют значение".

[dgwuqtj]

(Оффтоп)

Neznajka_ в сообщении #1712958 писал(а):

Как тождественное преобразование может изменить значение выражения?
Разве вычисление не подразумевает тождественных преобразований?

Тождественное преобразование на то и тождественное, что не меняет значений выражения. Но вычисление — это не тождественное преобразование, это совсем разные вещи. При вычислении формула просто интерпретируется как функция, которой на вход подают числа. А тождественное преобразование — это просто переписывание формулы, про функции при этом не думают.

Хотя в школе учат применять тождественные преобразования для упрощения вычислений, например, $101^3 = (100 + 1)^3 = 100^3 + 3 \cdot 100^2 + 3 \cdot 100 + 1 = 1030301$ можно посчитать без перемножения "в столбик".

[Neznajka_]

dgwuqtj в сообщении #1712969 писал(а):

При вычислении формула просто интерпретируется как функция, которой на вход подают числа. А тождественное преобразование — это просто переписывание формулы, про функции при этом не думают.

Тогда при вычислении выражения мы имеем дело только непосредственно с числами и арифметическими операциями между ними? Вычисление значений содержащихся в выражении функций на момент начала его вычисления уже должно быть произведено (т.е. вместо символов значений функций должны быть числа)? А когда подставляем вместо символов типа "$f(x)$" числа в выражении, то делаем тождественное преобразование? Верно Вас понимаю?

[dgwuqtj]

Когда вместо $\sin x$ вы подставляете $\sin \pi = 0$, это что угодно, но не тождественное преобразование. Вы сами как вычисляете $\sin (7 - 2 \cdot 2 - 1) + 4$?

[Neznajka_]

dgwuqtj в сообщении #1712988 писал(а):

Когда вместо $\sin x$ вы подставляете $\sin \pi = 0$, это что угодно, но не тождественное преобразование. Вы сами как вычисляете $\sin (7 - 2 \cdot 2 - 1) + 4$?

Зачем подставлять "$\sin \pi = 0$" вместо "$\sin x$", что это значит, к чему относится?
Можно просто ответить на мои вопросы из предыдущего сообщения? Желательно в формате "да/нет".

[dgwuqtj]

Neznajka_ в сообщении #1712986 писал(а):

Тогда при вычислении выражения мы имеем дело только непосредственно с числами и арифметическими операциями между ними? Вычисление значений содержащихся в выражении функций на момент начала его вычисления уже должно быть произведено (т.е. вместо символов значений функций должны быть числа)? А когда подставляем вместо символов типа "$f(x)$" числа в выражении, то делаем тождественное преобразование? Верно Вас понимаю?

Нет (в школе есть корни и т.д.), нет (их вычисление — это часть вычисления значения всего выражения), нет (подстановки не являются тождественными преобразованиями), нет.

[Neznajka_]

То есть $sin\frac{\pi}{2} + sin \frac{\pi}{2}$ вычислить путём предварительного сложения этих двух синусов от икс нельзя из-за порядка. Надо сначала по отдельности вычислить каждый, а потом сложить единички. Однако, порядок не запрещает сначала произвести сложение синусов как тождественное преобразование, а потом вычислить значение синуса, и произведение оного и двойки. Верно?

[Лукомор]

Neznajka_ в сообщении #1712992 писал(а):

Однако, порядок не запрещает сначала произвести сложение синусов как тождественное преобразование, а потом вычислить значение синуса

Вот и попробуйте таким способом найти $\sin 2x + \sin 3x$, сначала сложите синусы, как тождественное преобразование, а потом вычислите значение синуса. Получится немногим лучше, чем сначала сложить иксы, а потом вычислить синус суммы, как предлагает ТС.

[Neznajka_]

Лукомор в сообщении #1713013 писал(а):

Neznajka_ в сообщении #1712992 писал(а):

Однако, порядок не запрещает сначала произвести сложение синусов как тождественное преобразование, а потом вычислить значение синуса

Вот и попробуйте таким способом найти $\sin 2x + \sin 3x$, сначала сложите синусы, как тождественное преобразование, а потом вычислите значение синуса. Получится немногим лучше, чем сначала сложить иксы, а потом вычислить синус суммы, как предлагает ТС.

Ну и сложу (кавычки по вкусу), и получу $2sin(2,5x)cos(0,5x$). Вполне возможно, что при решении конкретной задачи именно так было бы максимально удобно её решать. А с "этими Вашими порядками" у ТС вообще вполне себе может сложиться впечатление, что ничего такого до вычисления каждого из синусов делать нельзя.

Кстати, Вы (или кто-нибудь ещё) можете дать ссылочку на какое-либо школьное пособие, где отдельно говорится про порядок операций в выражениях с функциями (со значками типа "$f(x)$", "$sin(x)$", и т.п.)?
Я вот просто тоже сейчас осваиваю базовый школьный курс математики, и уже не так далек от завершения, но никогда нигде такого не встречал. Однако все задачи решать правильно получается. И я искренне не понимаю, зачем тут грузят ТС этими порядками, когда её ключевая проблема здесь именно в непонимании определения (и других связанных базовых вещей) функции.

[Лукомор]

Neznajka_ в сообщении #1713086 писал(а):

Ну и сложу (кавычки по вкусу), и получу $2sin(2,5x)cos(0,5x$). Вполне возможно, что при решении конкретной задачи именно так было бы максимально удобно её решать. А с "этими Вашими порядками" у ТС вообще вполне себе может сложиться впечатление, что ничего такого до вычисления каждого из синусов делать нельзя.

Ну вот сложили Вы синусы, получили произведение, ну не будете же Вы теперь наступать на горло собственной песне, и находить сначала синус и косинус, а потом перемножать их, как того требует естественный порядок действий?
Вы же сначала предлагаете, насколько я понял, умножить синус на косинус, и получить обратно сумму тех же исходных синусов, и дальше гонять по кругу сумму в произведение, и произведение обратно в сумму, пока не надоест, а уже потом сначала подставить аргументы в исходное выражение, и уже полученные промежуточные результаты, либо сложите, либо перемножить, в зависимости от того, на каком шаге наступило просветление...

[Neznajka_]

Лукомор в сообщении #1713161 писал(а):

Neznajka_ в сообщении #1713086 писал(а):

Ну и сложу (кавычки по вкусу), и получу $2sin(2,5x)cos(0,5x$). Вполне возможно, что при решении конкретной задачи именно так было бы максимально удобно её решать. А с "этими Вашими порядками" у ТС вообще вполне себе может сложиться впечатление, что ничего такого до вычисления каждого из синусов делать нельзя.

Ну вот сложили Вы синусы, получили произведение, ну не будете же Вы теперь наступать на горло собственной песне, и находить сначала синус и косинус, а потом перемножать их, как того требует естественный порядок действий?
Вы же сначала предлагаете, насколько я понял, умножить синус на косинус, и получить обратно сумму тех же исходных синусов, и дальше гонять по кругу сумму в произведение, и произведение обратно в сумму, пока не надоест, а уже потом сначала подставить аргументы в исходное выражение, и уже полученные промежуточные результаты, либо сложите, либо перемножить, в зависимости от того, на каком шаге наступило просветление...

Сложил, как Вы мне сами и предлагали, и получил (хотя по-Вашему это невозможно, или как?) тождественно равное выражение. И единственный при этом известный мне "естественный порядок действий" - тот, о котором читал последний раз в учебнике максимум за 7 класс. Т.е. примерно такой.
Ну и что получается то. Хотим - находим сначала значения всех функций в выражении. Хотим - сначала преобразовываем в какое угодно тождественное выражение, а потом находим значения всех функций. Хотим - находим вперемешку с тождественными преобразованиями. Ну так и где этот Ваш особый "естественный порядок" для выражений с функциями, по которому их надо находить строго на определённом этапе? : )

(Оффтоп)

Вот серьёзно...ТС пишет, что ей не понятно к чему применять "действие sin" в выражении $sinx+sinx$, и "выносит за скобки" $sin$, получая $\sin2x$. А ей вместо того, чтобы отправить разбираться в самой начальной теории по функциям (и вообще последовательно осваивать алгебру с 7-го класса) на серьёзных щах объясняют, что так нельзя из-за "порядка действий".

[Dedekind]

Neznajka_ в сообщении #1713175 писал(а):

на серьёзных щах объясняют, что так нельзя из-за "порядка действий".

Потому что так нельзя именно из-за порядка действий. Что, впрочем, не отменяет необходимости ТС повторить "пройденную" алгебру за предыдущие года.