Элементарная алгебра для отстающих

[wrest]

(Даёшь бурбакизацию в школьную программу?)

ozheredov в сообщении #1712845 писал(а):

Именно: нужно сразу объяснять, что математика абстрактная наука, не имеющая ни малейшего отношения к калькуляторам, яблокам у Саши и Маши и прочим предметам из "объективной реальности" (с).

Сразу в школе? Категорически не согласен, и продолжать здесь дискуссию отказываюсь.

[Лукомор]

horda2501 в [сообщении #1712812 писал(а):

Где ошибка в понимании?

Ошибка в том, что не пройдена, либо пройдена но напрочь забыта, либо пройдена, но не понята
(нужное - подчеркнуть, ненужное - зачеркнуть) -
ТЕМА : "Порядок действий"!
Глядя на алгебраическое выражение, нужно понимать, какие действия выполняются в первую очередь, какие после них, и так далее...
Пока Вы не усвоите эту тему, будут постоянно вылезать все эти
$2+2\cdot 2 = 8$, $(2+3)^2= 13$ , $\sin x + \sin x = \sin 2x$ и прочие несуразности...

[Лукомор]

В данном конкретном случае я бы посоветовал расставлять в выражении все скобки, в том числе и те, которые опускаются обычно ввиду очевидности порядка действий.
То-есть, вместо $y = \sin x + \sin x$,
записать это выражение так:
$y = (\sin x) + (\sin x)$, что, в принципе, одно и то же самое, но дополнительные скобки хорошо сдерживают буйную фантазию, поскольку действия внутри скобок положено выполнять раньше, чем действия между скобками. Может быть это как-то поможет в понимании...

-- Сб дек 20, 2025 04:25:10 --

Аналогично, если расписать выражение $(a + b)^2$, в виде:
$(a + b) \cdot (a + b) = a \cdot (a + b) + b \cdot (a + b)$, то становится очевидным, что результат содержит не два слагаемых, а четыре, причем два слагаемых одинаковые, их можно сложить, и в итоговой формуле, получится три слагаемых, а не два.

-- Сб дек 20, 2025 04:55:18 --

horda2501 в сообщении #1712792 писал(а):

Вопрос посерьёзнее: почему же $\sin sin x + \sin x= \sin 2x$ неверное равенство, если ответ из него правильный получается?

Попробуйте самостоятельно объяснить, почему не верно равенство: $0 = \cos x - \cos x =\cos (x -x) = \cos 0 = 1$, для произвольного значения аргумента $x$.

[horda2501]

Dedekind в сообщении #1712832 писал(а):

horda2501
Это просто приоритет выполнения операций. Когда записано $x^2 + x^2$, сначала нужно возвести $x$ в квадрат, потом еще раз, и только потом сложить. А не сначала сложить, а потом возвести в квадрат. В результате получается $2x^2$, а не $(2x)^2$. С синусами $\sin x + \sin x$ то же самое: сначала вычисляется один синус, потом второй, потом результат складывается. В результате получается $2\sin x$, а не $\sin (2x)$.

Так более-менее ясно. Нужно сначала посчитать сколько действий $\sin$ будет выполняться для одинаковых $x$. Я не могу привыкнуть к этим действиям из тригонометрии, они кажутся непонятными по природе, в отличие от "простых" (вычитаний, умножений и т.д.). Нужно больше опыта Пойду решать это упражнение.

[Dedekind]

horda2501 в сообщении #1712919 писал(а):

Я не могу привыкнуть к этим действиям из тригонометрии, они кажутся непонятными по природе

Тут нужно хорошо освоить общее понятие "функция". Тогда для Вас не будет разницы, какое действие выполнять. Функция $f(x) = x^2$ ничем не лучше и не хуже функции $g(x) = \sin x$.

[Лукомор]

horda2501 в сообщении #1712919 писал(а):

не могу привыкнуть к этим действиям из тригонометрии, они кажутся непонятными по природе, в отличие от "простых" (вычитаний, умножений и т.д.). Нужно больше опыта

То-есть, Вам кажется, что к $2 + 2 \cdot 2 = 6 $ вы уже привыкли?

[sydorov]

horda2501,
чтобы не возвращаться к школьным учебникам за младшие классы, что откровенно скучно, напомню Вам упоминаемый выше порядок действий (приоритет операций)

Порядок действий. Надо запомнить - это важнее таблицы умножения

1) В первую очередь выполняются:

- возведение в степень;

- извлечение корней;

- вычисление функций (о функциях подробнее см. п. 4).

2) Во вторую очередь выполняются:

- умножение;

- деление.

3) В третью очередь выполняются:

- сложение;

- вычитание.

4) Перед вычислением функции необходимо вычислить её аргумент, если он задан выражением, по тому же порядку действий: 1)-2)-3).

Как изменить порядок действий?

С помощью скобок:
круглых $( ),$ квадратных $[ ]$ и фигурных $\{ \}.$

В этом случае вводится пункт 0) - он имеет наивысший приоритет.

0) Если в выражении есть скобки, то в первую очередь вычисляется выражение в скобках по порядку: 4)-1)-2)-3).

5) Если скобки вложены друг в друга, то сначала вычисляется выражение во внутренних скобках, затем - во внешних. Порядок действий остаётся тем же.


Для тренировки:
А. Составьте несколько простых примеров, иллюстрирующих все пункты этого правила.
Б. Из сборника конкурсных задач под редакцией М.И. Сканави решите 10 упражений из главы 1 и 20 упражнений из главы 2. Ответы для проверки присутствуют.

[Neznajka_]

Т.е., согласно указанного выше порядка, нельзя сделать преобразование, например $sin\frac{\pi}{2} + sin \frac{\pi}{2} = 2sin \frac{\pi}{2} = 2\cdot1=2$ , такая запись будет не верна что-ли?
Вот так единственно верно $sin\frac{\pi}{2} + sin \frac{\pi}{2} = 1+1 = 2$ ?

[sydorov]

Neznajka_
Порядок действий определяет правила вычисления значения выражения, но не запрещает выполнять тождественные алгебраические преобразования.

[Neznajka_]

sydorov в сообщении #1712955 писал(а):

Neznajka_
Порядок действий определяет правила вычисления значения выражения, но не запрещает выполнять тождественные алгебраические преобразования, если они не изменяют значение выражения.

Как тождественное преобразование может изменить значение выражения?
Разве вычисление не подразумевает тождественных преобразований?

[sydorov]

Neznajka_

(Оффтоп)

Я неправильно сформулировал фразу и чуть позже подкорректировал. Нужно было сразу написать "так как они не изменяют значение".

[dgwuqtj]

(Оффтоп)

Neznajka_ в сообщении #1712958 писал(а):

Как тождественное преобразование может изменить значение выражения?
Разве вычисление не подразумевает тождественных преобразований?

Тождественное преобразование на то и тождественное, что не меняет значений выражения. Но вычисление — это не тождественное преобразование, это совсем разные вещи. При вычислении формула просто интерпретируется как функция, которой на вход подают числа. А тождественное преобразование — это просто переписывание формулы, про функции при этом не думают.

Хотя в школе учат применять тождественные преобразования для упрощения вычислений, например, $101^3 = (100 + 1)^3 = 100^3 + 3 \cdot 100^2 + 3 \cdot 100 + 1 = 1030301$ можно посчитать без перемножения "в столбик".

[Neznajka_]

dgwuqtj в сообщении #1712969 писал(а):

При вычислении формула просто интерпретируется как функция, которой на вход подают числа. А тождественное преобразование — это просто переписывание формулы, про функции при этом не думают.

Тогда при вычислении выражения мы имеем дело только непосредственно с числами и арифметическими операциями между ними? Вычисление значений содержащихся в выражении функций на момент начала его вычисления уже должно быть произведено (т.е. вместо символов значений функций должны быть числа)? А когда подставляем вместо символов типа "$f(x)$" числа в выражении, то делаем тождественное преобразование? Верно Вас понимаю?

[dgwuqtj]

Когда вместо $\sin x$ вы подставляете $\sin \pi = 0$, это что угодно, но не тождественное преобразование. Вы сами как вычисляете $\sin (7 - 2 \cdot 2 - 1) + 4$?

[Neznajka_]

dgwuqtj в сообщении #1712988 писал(а):

Когда вместо $\sin x$ вы подставляете $\sin \pi = 0$, это что угодно, но не тождественное преобразование. Вы сами как вычисляете $\sin (7 - 2 \cdot 2 - 1) + 4$?

Зачем подставлять "$\sin \pi = 0$" вместо "$\sin x$", что это значит, к чему относится?
Можно просто ответить на мои вопросы из предыдущего сообщения? Желательно в формате "да/нет".