Задача на определение конкретной кривой

[pan555]

Доброого времени суток !
Имеeтся следующая задача.
Задана параметрически пространственная кривая по следующей формуле :

$$ $$x= c_1_1\cdot \sin(w\cdot s) +c_1_2\cdot \cos(w\cdot s) + c_1_3\cdot s +c_1_4 $$ $$y = c_2_1\cdot \sin(w \cdot s) +c_2_2 \cdot \cos(w \cdot s) + c_2_3 \cdot s +c_2_4 $$ $$z = c_3_1\cdot \sin(w \cdot s) +c_3_2\cdot \cos(w \cdot s) + c_3_3\cdot s +c_3_4 $$ $$

где s-параметр.
Сколько нужно задать точек с координатами (x,y,z), что бы определить конкретные
значения $ c_i_j $ ?
(Если бы таким образом была задана прямая, то нужно 2 точки,так?)

[dgwuqtj]

Здравствуйте. Если взять даже бесконечно много точек $(1, 0, n)$ при всех целых $n$, то они не задают кривую однозначно. Подходят
\begin{align*} x &= \cos 2 \pi s, \\ y &= \sin 2 \pi s, \\ z &= c s \end{align*}
для всех $c = \frac 1 k$, $k \in \mathbb N$.

[pan555]

dgwuqtj в сообщении #1712895 писал(а):

Здравствуйте. Если взять даже бесконечно много точек $(1, 0, n)$ при всех целых $n$, то они не задают кривую однозначно. Подходят
\begin{align*} x &= \cos 2 \pi s, \\ y &= \sin 2 \pi s, \\ z &= c s \end{align*}
для всех $c = \frac 1 k$, $k \in \mathbb N$.

Почему ?
Мне кажется ,для $c_i_j$ это 12 чисел - это 4 точки (4 × 3 координаты) + для каждой точуи своё значенип s -
Итого 6 точек.
В чём я ошибаюсь ?

[dgwuqtj]

pan555 в сообщении #1712896 писал(а):

Почему ?

Потому что если подставить такие $c$, то все точки действительно окажутся на кривой.

pan555 в сообщении #1712896 писал(а):

В чём я ошибаюсь ?

В том, что не любой набор из 36 уравнений на параметры и 12 значений $s$ имеет единственное решение. С линейной алгеброй знакомы?

[pan555]

dgwuqtj в сообщении #1712901 писал(а):

pan555 в сообщении #1712896 писал(а):

Почему ?

Потому что если подставить такие $c$, то все точки действительно окажутся на кривой.

pan555 в сообщении #1712896 писал(а):

В чём я ошибаюсь ?

В том, что не любой набор из 36 уравнений на параметры и 12 значений $s$ имеет единственное решение. С линейной алгеброй знакомы?

С линейной алгеброй знаком.
Я так понимаю, для определения $c_{ij}$ нужны 36 уравнений ,если исходить из фиксации 4 точек.
Но у нас тогда остается необходимость определить 4 значения параметра s.
Тогда добавим ещё одну точку - это ещё 3 уравнения и ещё одно значение параметра s.
Отсюда получается,что для полного определения конкретной кривой по таким формулам достаточно 5 точек.

[dgwuqtj]

Вот система уравнений, из которой вы пытаетесь найти параметры, не является линейной. А если бы она была линейной, пришлось бы проверять невырожденность.

Пример: из трёх уравнений $x - y = 0$, $y - z = 0$, $z - x = 0$ неизвестные найти тоже нельзя. Хотя их 3 и уравнений 3.

-- 20.12.2025, 12:26 --

Если уж заниматься подсчётами уравнений и неизвестных, то я бы скорее ожидал, что через 6 точек общего положения проходит не более чем счётный набор спиралей. Но, опять же, это просто интуитивное соображение.

Для алгебраических кривых ситуация похожая: окружность задаётся 3 точками общего положения (не лежащими на одной прямой), невырожденная коника — 5 точками (никакие 3 точки не на одной прямой), а коника с возможным вырождением в пару прямых (параллельных или пересекающихся, но не совпадающих) — 5 точками, никакие 4 из которых не лежат на одной прямой.