Объединение множества (одного)

[kernel1983]

Здравствуйте.

Пусть $ a = \left\lbrace \left\lbrace x,y \right\rbrace, \left\lbrace x, z \right\rbrace \right\rbrace$. Тогда ясно, что $\cup a = \left\lbrace x, y, z \right\rbrace$. Пусть теперь $ a = \left\lbrace x,y, z \right\rbrace$, и нет никакой информации об элементах множеств $x, y , z$ (мы не знаем, какие множества принадлежат этим трём множествам). Тогда чему равно $\cup a$? Вроде бы, простой вопрос, но можно ли на него дать ответ? Спасибо.

P.S. Речь идёт о теории множеств Цермело-Френкеля.

[mihaild]

kernel1983 в сообщении #1712267 писал(а):

Тогда чему равно $\cup a$?

$x \cup y \cup z$
Ничего больше сказать нельзя.

[kernel1983]

mihaild, спасибо.

-- 11.12.2025, 18:10 --

Попробую это доказать...

[Dedekind]

kernel1983 в сообщении #1712273 писал(а):

Попробую это доказать...

Так это же просто определение, что тут доказывать? Или я чего-то не понимаю?

[ozheredov]

kernel1983 в сообщении #1712267 писал(а):

Пусть теперь $ a = \left\lbrace x,y, z \right\rbrace$, и нет никакой информации об элементах множеств $x, y , z$ (мы не знаем, какие множества принадлежат этим трём множествам). Тогда чему равно $\cup a$?

В фильме "Постал" на собеседовании задавался вопрос: "В чём разница между уткой?"

kernel1983 в сообщении #1712267 писал(а):

Вроде бы, простой вопрос, но можно ли на него дать ответ?

[skobar]

Заголовок темы "Объединение множества (одного)" звучит немножко странно. Объединение определяется для семейства множеств, всегда для одного семейства множеств. Конечно, вместо термина "семейство" можно использовать слово "множество" - это синонимы, так что формально употребление слова "множества" вместо "семейства" не делает заголовок неправильным. Но вот уточнение, что именно "одного" множества совершенно излишне, и может указывать на то, что ТС что-то не так понимает.

Вообще, обозначение вроде $\cup a$ не слишком популярно в математике. Как пишет Пол Халмош в своей книжке "Naive Set Theory" (цитата):

The simplest symbol for union that is in use at all is not very popular in mathematical circles; it is

$$\bigcup C$$

most mathematicians prefer something like

$$\bigcup \{X:X\in C\}$$

or

$$\bigcup_{X\in C}X$$

На мой взгляд общепринятые обозначения воспринимаются гораздо понятнее.

По определению если $a$ - это семейство из трех множеств $x$,$y$,$z$:
$\ a=\{x,y,z\}$,
то $\cup a$ и $x\cup y\cup z$ - это просто разные формы записи одного и того же, так что доказывать тут нечего.

[ozheredov]

skobar в сообщении #1712286 писал(а):

most mathematicians prefer something like

$$\bigcup \{X:X\in C\}$$

То есть, множество, скажем, иррациональных чисел можно представить как объединение всех его элементов?

[skobar]

(ozheredov)

ozheredov в сообщении #1712288 писал(а):

То есть, множество, скажем, иррациональных чисел можно представить как объединение всех его элементов?

Ответ на вопрос нет, и что-то мне говорит, что вы это прекрасно понимаете и занимаетесь троллингом.

[ozheredov]

skobar в сообщении #1712291 писал(а):

Ответ на вопрос нет, и что-то мне говорит, что вы это прекрасно понимаете и занимаетесь троллингом.

Ясен пень, я это прекрасно понимаю, но Вы же на сериозных щах процитировали то, что процитировали. Я просто попытался подставить в формулу что-нибудь конкретное - нельзя?

[mihaild]

skobar в сообщении #1712286 писал(а):

$$\bigcup C$$

most mathematicians prefer something like

$$\bigcup \{X:X\in C\}$$

Первое обозначение выглядит не очень, но второе - ИМХО еще хуже. Ничего не добавляет, только более сложно расписывает $C$. Привычное обозначение - третье.
(хотя в общем-то именно первое самое фундаментальное)

ozheredov в сообщении #1712294 писал(а):

Я просто попытался подставить в формулу что-нибудь конкретное - нельзя?

Можно. Что и в какую формулу Вы подставляете?

[skobar]

ozheredov в сообщении #1712294 писал(а):

Я просто попытался подставить в формулу что-нибудь конкретное - нельзя?

Формула существует только в вашем воображении. Пол Халмош описал несколько обозначений для одного и того же - это не формула.

-- 11.12.2025, 20:31 --

mihaild в сообщении #1712296 писал(а):

Первое обозначение выглядит не очень, но второе - ИМХО еще хуже. Ничего не добавляет, только более сложно расписывает $C$. Привычное обозначение - третье.

Если бы я писал, то на автомате использовал бы третье обозначение, как самое привычное. Согласен, что второе тоже не слишком распространённое, но, на мой взгляд, все же лучше, чем первое. Даже не припомню, чтобы где-нибудь встречал первое.
В конце концов я просто процитировал Халмоша - математика, в авторитете которого сомнений нет.

-- 11.12.2025, 20:32 --

mihaild в сообщении #1712296 писал(а):

Первое обозначение выглядит не очень

ТС использовал именно первое обозначение, что и послужило причиной привести цитату.

[ozheredov]

mihaild в сообщении #1712296 писал(а):

Что и в какую формулу Вы подставляете?

Ок, поймали. Я понимаю, что это обозначение сродни $2^a$ (это не формула возведения в степень, а множество всех подмножеств $a$), но я не вижу в нём смысла (в отличие от $2^a$,). Мне кажется, что объединение всех элементов $C$ (sorry, пишу с телефона) в тривиальных случаях равно $C$, а в нетривиальных случаях стреляет в ногу тому, кто его использует.

[mihaild]

ozheredov в сообщении #1712303 писал(а):

Мне кажется, что объединение всех элементов $C$ (sorry, пишу с телефона) в тривиальных случаях равно $C$

Нет, оно почти никогда не равно $C$.
Обозначение $\bigcup C$ - более фундаментальное. Оно соответствует аксиоме объединения: для любого семейства $C$, существует объединение этого семейства $\bigcup C$ такое что $\forall x: (x \in \bigcup C \leftrightarrow \exists y \in C: x \in y)$. А стандартная запись $x \cup y$ обосновывается уже следствием из этой аксиомы, и аксиомы пары.

[skobar]

Такое впечатление, что ozheredov не понимает разницы между, скажем, $\{\{x\},\{y\}\}$ и $\{x,y\}$ (это случай, когда семейство множеств $C$ состоит из двух одноэлементных множеств)

[Someone]

kernel1983 в сообщении #1712267 писал(а):

Здравствуйте.

Пусть $ a = \left\lbrace \left\lbrace x,y \right\rbrace, \left\lbrace x, z \right\rbrace \right\rbrace$. Тогда ясно, что $\cup a = \left\lbrace x, y, z \right\rbrace$. Пусть теперь $ a = \left\lbrace x,y, z \right\rbrace$, и нет никакой информации об элементах множеств $x, y , z$ (мы не знаем, какие множества принадлежат этим трём множествам). Тогда чему равно $\cup a$? Вроде бы, простой вопрос, но можно ли на него дать ответ? Спасибо.

P.S. Речь идёт о теории множеств Цермело-Френкеля.

В теории множеств ZF или ZFC все объекты являются множествами, в том числе и ваши $x,y,z$. Поэтому $\bigcup a=x\cup y\cup z$, как Вам и написали. Если, как Вы пишете, про множества $x,y,z$ ничего неизвестно, то кроме $\bigcup a=x\cup y\cup z$ ничего написать нельзя.

Но бывают и теории множеств с атомами. Атомы не являются множествами, хотя могут быть элементами множеств. Во всех теоретико-множественных операциях атомы нужно рассматривать как пустые множества. В частности, если ваши $x,y,z$ — атомы, то $x\cup y\cup z=\varnothing$.

ozheredov в сообщении #1712288 писал(а):

То есть, множество, скажем, иррациональных чисел можно представить как объединение всех его элементов?

Результат этого объединения зависит от того, как Вы рассматриваете иррациональные числа. Если Вы имеете в виду модель, построенную в чистой теории множеств, то получится какое-то множество, зависящее от конкретной модели. Если же у Вас числа рассматриваются как атомы, то объединение будет пустым множеством. В обоих случаях результат не выглядит полезным.