Школьная задача про космический корабль

[realeugene]

Alex_O в сообщении #1710757 писал(а):

Выброшенная реактивная масса, в ближней зоне реактивного мотора представляет собой некоторое облако газа.

Нет, так как у нормальных ракет струя вообще сверхзвуковая. Нет никакой "ближней зоны реактивного мотора", не фантазируйте.

Вам совершенно точно не следует считать ракеты - они не имеют отношения к вашему вопросу, к тому же расчёт истечения газа из сопла требует продвинутых знаний из газодинамики.

[Alex_O]

realeugene в сообщении #1710764 писал(а):

Alex_O в сообщении #1710757 писал(а):

Выброшенная реактивная масса, в ближней зоне реактивного мотора представляет собой некоторое облако газа.

Нет, так как у нормальных ракет струя вообще сверхзвуковая. Нет никакой "ближней зоны реактивного мотора", не фантазируйте.

Вам совершенно точно не следует считать ракеты - они не имеют отношения к вашему вопросу, к тому же расчёт истечения газа из сопла требует продвинутых знаний из газодинамики.

С Вашего позволения, я попробую разобраться.
Вопрос - какая жесткость у газовой струи из сопла реактивного двигателя если в трюме ракеты на дно упал груз (на пружину).

Мысленно - ударим по воде пробным телом на скорости 1 м/с или 1000 м/с. Или на поршень - налетит струя воды/газа на скорости 1 м/с или 1000 м/с. Положим, что в ракете есть поверхность, на которую бьет струя газа с тепловыми скоростями 1000 м/с. Эта струя летит по вектору тяги. (немного упростим для начала).

Понимаем, что кроме скорости струи есть давление. Рассмотрим статику и динамику. Статика - пример - поплавок медленно погрузился в воду на глубину h. Динамика - прилетел на скорости 1000 м/с и хотел утонуть. На поплавок должна действовать статическая и динамическая сила.

В нашей задаче - "поплавок" - это камера сгорания, в ней есть давление 300 атм и есть "ветер" что передает импульс от горячего газа к ракете через площадь поверхности. Вроде все так..

1. Исходная система и Лагранжиан

Рассматриваем систему Ракета $(R) + \text{Груз} (C)$. Струя является внешней средой, взаимодействующей с системой.

Лагранжиан:

$$L = \frac{1}{2}M_r \dot{x}_r^2 + \frac{1}{2}M_c \dot{x}_c^2 - \frac{1}{2}k(x_r - x_c - l_0)^2 $$

где $k$ — жёсткость пружины, $l_0$ — её длина в свободном состоянии.

Уравнения Лагранжа:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_r}\right) - \frac{\partial L}{\partial x_r} = Q_r^{\text{(ext)}}$$

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_c}\right) - \frac{\partial L}{\partial x_c} = Q_c^{\text{(ext)}} $$

Внешние обобщённые силы:

$$Q_r^{\text{(ext)}} = F_{\text{thrust}} + F_{\text{jet}}$$

$$Q_c^{\text{(ext)}} = 0$$

2. Выведем $F_{jet}$ из законов сохранения

Рассмотрим Уравнение Эйлера для реактивной струи:

$$\frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \otimes \mathbf{v}) = -\nabla p $$

Проинтегрируем по контрольному объёму $V$, включающему камеру сгорания и ближнюю зону (истечения):

$$\int_V \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} dV + \int_V \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \otimes \mathbf{v}) dV = -\int_V \nabla p dV $$

По теореме Остроградского-Гаусса и с учётом, что Сила$ = $ Поток импульса через поверхность:

$$\frac{d}{dt} \int_V \rho \mathbf{v} dV + \oint_S \rho \mathbf{v} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}) dS = -\oint_S p \mathbf{n} dS $$

Заметим, что:
В стационарном режиме первый член $= $0.
При ударе груза возникает нестационарность, и первый член не равен нулю.
Сила реакции на ракету$ =$ изменению импульса в контрольном объёме $+$ потоку импульса через его границы.

Предположим, что :
Основное изменение импульса происходит в камере сгорания при смещении её задней стенки. Считаем газ в камере "жёсткий амортизатор".
Тут есть вопрос как правильно считать - уточним позже (сопло или камера)

3. Вывод рабочей формулы

Смещение стенки $dx$ за время $dt$ создаёт дополнительное давление $dP$.

3.1. Термодинамическая (статическая) составляющая:
Из уравнения адиабаты $P V^{\gamma} = \operatorname{const}$:

$$dP = -P_0 \gamma \frac{dV}{V_0} = -P_0 \gamma \frac{A dx}{V_0}$$

Сила, действующая на стенку:

$$F_{\text{thermo}} = A \cdot dP = -P_0 \gamma \frac{A^2}{V_0} dx$$

Это квазистатическая жёсткость газа.

3.2. Динамическая (инерционная) составляющая:
Смещение стенки со скоростью $v_w = dx/dt$ навстречу потоку со скоростью звука $c$ требует изменения импульса набегающих частиц.

$$F_{\text{dyn}} = - \rho c A v_w = - \rho c A \frac{dx}{dt}$$

Учитывая, что:

$$P_0\sim\frac{\rho c^2}{\gamma}$$

(для идеального газа), получаем:

$$F_{\text{dyn}} = - \frac{\gamma P_0 A}{c} \frac{dx}{dt}$$

3.3. Итоговая формула для $F_{jet}$:

$$ F_{\text{jet}} = P_{0}\gamma \frac{A^2}{V_0} \cdot (x_r - x_{r_0}) + \frac{\gamma P_0 A}{c} \cdot (\dot{x}_r - \dot{x}_{r_0}) $$

где $x_{r_0}$, $\dot{x}_{r_0}$ — положение и скорость ракеты до возмущения.

4. Окончательная система уравнений

Подставляя $F_{jet}$ в уравнения Лагранжа, получаем:

$$M_r \ddot{x}_r = F_{\text{thrust}} - P_0 \gamma \dfrac{A^2}{V_0} (x_r - x_{r_0}) - \dfrac{\gamma P_0 A}{c} (\dot{x}_r - \dot{x}_{r_0}) - k(x_r - x_c - l_0) \\ $$

$$M_c \ddot{x}_c = k(x_r - x_c - l_0)$$

в нашем случае - груз создает удар против хода ракеты, поэтому рабочая формула имеет вид.

r.a_rocket_x = (Force.Thrust - Force.Friction + Force.Jet_damping)/Rocket.Massa  
    r.a_cargo_x = Force.Friction / Cargo.Massa 
Где:
 Force.Thrust - Внешняя сила - тяга мотора
 Force.Friction - Сила сжатия пружины (внутренняя)
 Force.Jet_damping - Внешняя сила от сопротивления газовой струи. 

 По примерным оценкам, Force.Jet может быть на уровне 0,001 -0,1 % от Force.Thrust и возможно улучшение.  

Заключение - мы искали третью силу (аналог гравитационного якоря). И нашли ее в инерции и жесткости реактивной струи.
Может ли это уменьшить сам Force.Thrust - пока не понятно, но следует хотя бы спросить.