Наивный вопрос про открытость и замкнутость

[Altenter]

Здравствуйте.
Вот у нас есть отрезок в $\mathbb R_3$. он замкнут по всей своей длине? Или замкнуты только его концы? Или, грубо говоря, можем ли мы присоединить к этому отрезку перпендикулярно отрезок, или только интервал/полуинтервал? И что произойдет с точкой отрезка, если мы присоединим к ней n отрезков, а затем отделим от нее n интервалов той же длины? Почему принято считать, что отрезок при делении делится на 2 отрезка, а не на полуинтервал и отрезок, а при выкалывании точки на 2 полуинтервала?

[mihaild]

Altenter в сообщении #1707722 писал(а):

Вот у нас есть отрезок в $\mathbb R_3$. он замкнут по всей своей длине?

Нет такого понятия - "замкнут по всей длине". Есть понятие "замкнутного множества", и любое множество либо замкнуто, либо нет.
Аналогично нет понятий "присоединить отрезок", "отделить интервал" и т.д.

[Altenter]

Спасибо. А точку хотя бы выколоть можно?

[svv]

При этом в стандартной топологии на $\mathbb R^3$ отрезок не является ни замкнутым, ни открытым множеством. В $\mathbb R$ он замкнут.

[Mikhail_K]

Altenter в сообщении #1707722 писал(а):

Вот у нас есть отрезок в $\mathbb R_3$.

В $\mathbb{R}^3$?

Altenter в сообщении #1707722 писал(а):

он замкнут по всей своей длине? Или замкнуты только его концы?

Как было верно сказано, нет таких понятий. Отрезок - замкнут, концы ему принадлежат.

Altenter в сообщении #1707722 писал(а):

И что произойдет с точкой отрезка, если мы присоединим к ней n отрезков, а затем отделим от нее n интервалов той же длины?

Смотря что значит "присоединим". Если в смысле объединения ($\cup$), то точки, принадлежащие обоим множествам, при объединении этих множеств не "удваиваются". Например, $[0,1]\cup[1,2]=[0,2]$. Если "удалим" в смысле разности множеств ($\backslash$), то, например, $[0,2]\backslash(1,2]=[0,1]$; $[0,2]\backslash[1,2]=[0,1)$. Таким образом, $(A\cup B)\backslash B$ не обязательно равно $A$.
Грубо говоря, по самому своему смыслу множество содержит каждый свой элемент "только один раз"; вообще не определено, что значит "содержать какой-то элемент несколько раз".

Altenter в сообщении #1707722 писал(а):

Почему принято считать, что отрезок при делении делится на 2 отрезка, а не на полуинтервал и отрезок

Не принято так считать. Если точка $c$ находится внутри отрезка $[a,b]$, иногда бывает удобно рассмотреть отрезки $[a,c]$ и $[c,b]$, иногда полуинтервал $[a,c)$ и отрезок $[c,b]$. Как удобно и как нужно для конкретной задачи, так и рассматривают. "Делится" - не строгий математический термин, а скорее жаргон - в разных контекстах он может пониматься по-разному.

-- 30.10.2025, 18:05 --

svv в сообщении #1707729 писал(а):

При этом в стандартной топологии на $\mathbb R^3$ отрезок не является ни замкнутым, ни открытым множеством. В $\mathbb R$ он замкнут.

Что Вы такое говорите. Отрезок замкнут и в $\mathbb{R}$, и в $\mathbb{R}^3$. Вот интервал - действительно не открыт и не замкнут в $\mathbb{R}^3$, хотя открыт в $\mathbb{R}$.

[Anton_Peplov]

svv в сообщении #1707729 писал(а):

При этом в стандартной топологии на $\mathbb R^3$ отрезок не является ни замкнутым, ни открытым множеством.

Простите, "при этом" - это при чем? Если точку выколоть? Тогда да, отрезок с выколотой точкой - не открыт и не замкнут.

[svv]

Sorry

[Mikhail_K]

Altenter в сообщении #1707728 писал(а):

Спасибо. А точку хотя бы выколоть можно?

Это жаргон, а не строгий термин. Конечно, если у нас есть отрезок $[a,b]$ и точка $c$ внутри него, то можно рассмотреть множество $[a,c)\cup(c,b]$. Обычно это подразумевают под словами "выколоть точку $c$".

[Altenter]

Mikhail_K в сообщении #1707730 писал(а):

Если в смысле объединения ($\cup$), то точки, принадлежащие обоим множествам, при объединении этих множеств не "удваиваются". Например, $[0,1]\cup[1,2]=[0,2]$. Если "удалим" в смысле разности множеств ($\backslash$), то, например, $[0,2]\backslash(1,2]=[0,1]$; $[0,2]\backslash[1,2]=[0,1)$. Таким образом, $(A\cup B)\backslash B$ не обязательно равно $A$.
Грубо говоря, по самому своему смыслу множество содержит каждый свой элемент "только один раз"; вообще не определено, что значит "содержать какой-то элемент несколько раз".

Спасибо за развернутый ответ.
Ну и как жить с такой теорией множеств?
Вот есть круг. Необходимо "покрасить" его в 3 цвета так, чтобы области, закрашенные каждым цветом были равны между собой. Вот разбили круг на 3 равных сектора, покрасили их и осталась центральная точка. А, что делать-то? Точку на части дробить и в 3 цвета красить? Так она вроде по определению неделима. Или говорить, что мы не можем справиться с задачей? Так а если нанести на нее один цвет, затем второй поверх, а затем третий или точку одного цвета наложить на точку другого, а поверх еще точку третьего? Но вот досада, одинаковых элементов в множестве быть не может. Даже круг покрасить уже нельзя. А может слои тогда хотя бы у элементов ввести можно? Слоеная точка.
И вот тогда бы можно было и присоединять сколько угодно и как угодно и делить множества. Но точка бы стала делимой по слоям, и оставалась бы неделимой по координатам.

[Anton_Peplov]

Altenter в сообщении #1707739 писал(а):

Необходимо "покрасить" его в 3 цвета так, чтобы области, закрашенные каждым цветом были равны между собой.

В каком смысле равны? По площади? Или как множества точек? Как множества они не могут быть равны между собой.

Altenter в сообщении #1707739 писал(а):

покрасили их и осталась центральная точка

Если Вас интересует равенство площадей, припишите центральной точке любой цвет по своему выбору. Площадь точки все равно нулевая. А почему Вас не интересует цвет радиусов, разделяющих сектора? С ним та же самая проблема (точнее, никакой проблемы нет: площадь отрезка тоже равна нулю).

Altenter в сообщении #1707739 писал(а):

А может слои тогда хотя бы у элементов ввести можно?

Не надо придумывать ерунду. Все разумное придумали до Вас.

[Booker48]

Altenter в сообщении #1707739 писал(а):

Необходимо "покрасить" его в 3 цвета так, чтобы области, закрашенные каждым цветом были равны между собой. Вот разбили круг на 3 равных сектора, покрасили их и осталась центральная точка.

Вам таки шашечки или ехать? Нет проблем определить по координатам точки цвет, в который она будет покрашена. Один цвет из трёх.

[Altenter]

Anton_Peplov в сообщении #1707741 писал(а):

Altenter в сообщении #1707739 писал(а):

Необходимо "покрасить" его в 3 цвета так, чтобы области, закрашенные каждым цветом были равны между собой.

В каком смысле равны? По площади? Или как множества точек? Как множества они не могут быть равны между собой.

Ну если у точек ввести слои, то можно.

Anton_Peplov в сообщении #1707741 писал(а):

Altenter в сообщении #1707739 писал(а):

покрасили их и осталась центральная точка

Если Вас интересует равенство площадей, припишите центральной точке любой цвет по своему выбору. Площадь точки все равно нулевая. А почему Вас не интересует цвет радиусов, разделяющих сектора? С ним та же самая проблема (точнее, никакой проблемы нет: площадь отрезка тоже равна нулю).

С радиусами нет проблемы по другой причине. Их 3 и цвета тоже 3.

Anton_Peplov в сообщении #1707741 писал(а):

Altenter в сообщении #1707739 писал(а):

А может слои тогда хотя бы у элементов ввести можно?

Не надо придумывать ерунду. Все разумное придумали до Вас.

А зачем тогда нужна наука, если все уже придумано? Тогда достаточно истории науки.

[Mikhail_K]

Altenter в сообщении #1707739 писал(а):

Ну и как жить с такой теорией множеств?

Её надо изучить, и тогда понимаешь, что она разумна и удобна.

Altenter в сообщении #1707739 писал(а):

Вот есть круг. Необходимо "покрасить" его в 3 цвета так, чтобы области, закрашенные каждым цветом были равны между собой. Вот разбили круг на 3 равных сектора, покрасили их и осталась центральная точка. А, что делать-то? Точку на части дробить и в 3 цвета красить? Так она вроде по определению неделима. Или говорить, что мы не можем справиться с задачей? Так а если нанести на нее один цвет, затем второй поверх, а затем третий или точку одного цвета наложить на точку другого, а поверх еще точку третьего? Но вот досада, одинаковых элементов в множестве быть не может. Даже круг покрасить уже нельзя. А может слои тогда хотя бы у элементов ввести можно? Слоеная точка.

В математике нет термина "покрасить". Поэтому можно ввести его и определить его как захочется, и свойства его тоже определить как захочется. Например можно какие-то точки считать покрашенными одновременно в несколько цветов (чем не "слоёная точка"), или считать не покрашенными ни в один цвет, или же выбрать, к какому цвету отнести какие точки, лежащие на границе нескольких секторов.

[mihaild]

Altenter в сообщении #1707745 писал(а):

Ну если у точек ввести слои, то можно

Не надо никаких "слоёв". Хотите формализовать раскраску, в которой точке может быть приписано несколько цветов - ну так и берите многозначную функцию.

Altenter в сообщении #1707745 писал(а):

А зачем тогда нужна наука, если все уже придумано?

Немного уточню: всё разумное, что можно придумать без долгого изучения уже придуманного, уже придумали.

[Anton_Peplov]

Altenter в сообщении #1707745 писал(а):

А зачем тогда нужна наука, если все уже придумано?

Вы воображаете себя ученым?

Altenter в сообщении #1707745 писал(а):

Ну если у точек ввести слои, то можно.

Дайте определение, когда два множества равны друг другу. Покажите, что сектора круга не равны друг другу как множества точек плоскости (точкой плоскости считать упорядоченную пару действительных чисел - ее декартовых координат).