Ряд, как посчитать?

[mihaild]

Altenter в сообщении #1707542 писал(а):

Я этого не вижу, объясняю почему и стараюсь понять, но Вы пока утверждаете это в общих фразах

Пусть $S$ - сумма, $x_i^j$ - $i$-й член слева на $j$-м шаге, $p_j$ - остаток на $j$-м шаге.
Имеем $\forall j: \sum_i x_i^j + p_j = S$, $x_i^j = \begin{cases} b_i & i < j \\ a_i & i > j\end{cases}$. И знаем, что $\sum_i b_i = S$. Выведите из этого, что $p_j \to 0$.

[Altenter]

mihaild в сообщении #1707543 писал(а):

Altenter в сообщении #1707542 писал(а):

Я этого не вижу, объясняю почему и стараюсь понять, но Вы пока утверждаете это в общих фразах

Пусть $S$ - сумма, $x_i^j$ - $i$-й член слева на $j$-м шаге, $p_j$ - остаток на $j$-м шаге.
Имеем $\forall j: \sum_i x_i^j + p_j = S$, $x_i^j = \begin{cases} b_i & i < j \\ a_i & i > j\end{cases}$. И знаем, что $\sum_i b_i = S$. Выведите из этого, что $p_j \to 0$.

Так ничего не очевидно и ничего не понятно в этих формализмах. Давайте в конкретных числах, от частного к общему:

Вот бесконечная последовательность $\frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{2}{24},\frac{6}{120},\frac{24}{720},......,\frac{n!}{(n+2)!},.........$, с суммой равной 1.
И еще одна бесконечная последовательность с суммой равной 1: $\frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{2}{30},\frac{8}{210},\frac{48}{2310},........,\frac{\prod_{i=1}^n(p_i-1)}{p_{n+1}\#},......$

И вот из первой надо получить вторую, желательно почленно. И смотреть при этом на остаток. Вывести его сумму и последовательность членов этой суммы.

[mihaild]

Altenter в сообщении #1707547 писал(а):

Так ничего не очевидно и ничего не понятно в этих формализмах

Откройте учебник матана за первый курс. Хотя тут вроде бы даже школьные обозначения, насколько я помню, в старших классах что-то на тему бесконечных сумм руками машут, этого вполне достаточно.
Если Вы хотите что-то спросить про бесконечные ряды - то нужно разобраться с тем, что это такое. До тех пор стоит ограничиться вопросами, которые помогут в этом разобраться, что-то другое только запутает.

Altenter в сообщении #1707547 писал(а):

И еще одна бесконечная последовательность с суммой равной 1: $\frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{2}{30},\frac{8}{210},\frac{48}{2310},..............$

Тут непонятно, какой общий член. Но Вы можете хотя бы просто вместо букв подставить конкретные числа? Если нет - то повторите программу за примерно 5й класс прежде чем думать о рядах.

[Altenter]

mihaild в сообщении #1707551 писал(а):

Altenter в сообщении #1707547 писал(а):

Так ничего не очевидно и ничего не понятно в этих формализмах

Откройте учебник матана за первый курс. Хотя тут вроде бы даже школьные обозначения, насколько я помню, в старших классах что-то на тему бесконечных сумм руками машут, этого вполне достаточно.
Если Вы хотите что-то спросить про бесконечные ряды - то нужно разобраться с тем, что это такое. До тех пор стоит ограничиться вопросами, которые помогут в этом разобраться, что-то другое только запутает.

Altenter в сообщении #1707547 писал(а):

И еще одна бесконечная последовательность с суммой равной 1: $\frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{2}{30},\frac{8}{210},\frac{48}{2310},..............$

Тут непонятно, какой общий член. Но Вы можете хотя бы просто вместо букв подставить конкретные числа? Если нет - то повторите программу за примерно 5й класс прежде чем думать о рядах.

Дополнил предыдущее сообщение.

Будем преобразовывать почленно?

[mihaild]

Altenter в сообщении #1707553 писал(а):

Будем преобразовывать почленно?

Например. В чем проблема?
Обращаю внимание, что для этих двух последовательностей

Altenter в сообщении #1707504 писал(а):

Но и последующие члены первой последовательности больше членов с теми же номерами второй

неверно. Это понятно из асимптотики, и, если я нигде не обсчитался, члены второй последовательности больше соответствующих членов первой, начиная с 39го.

[Altenter]

mihaild в сообщении #1707555 писал(а):

Altenter в сообщении #1707553 писал(а):

Будем преобразовывать почленно?

Например. В чем проблема?
Обращаю внимание, что для этих двух последовательностей

Altenter в сообщении #1707504 писал(а):

Но и последующие члены первой последовательности больше членов с теми же номерами второй

неверно. Это понятно из асимптотики, и, если я нигде не обсчитался, члены второй последовательности больше соответствующих членов первой, начиная с 39го.

Ах, так вот оно что! Спасибо, значит будем искать в этом наше чудо!
Т.е. 2 первых члена совпадают и тогда разность, которая соберется с 36 -ти членов компенсируется начиная с 37-го члена и до бесконечности. А чему равны эти разности не посчитали? 37 - первое иррегулярное простое число - это уже чудо. А если разность сложить по модулю? Будет она равна 1?

[serg_yy]

Бесконечная последовательность $\frac{n!}{(n+2)!}$ имеет формулу общего члена $\frac{n!}{(n+2)!} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$. Отсюда сумма первых n членов равна $1-\frac{1}{n+2}$. Ну а предел равен 1, это легко.
Что такое $\frac{\prod_{i=1}^n(p_i-1)}{p_{n+1}\#}$, вообще не понял. Надо разъяснить.

[Altenter]

serg_yy в сообщении #1707560 писал(а):

Что такое $\frac{\prod_{i=1}^n(p_i-1)}{p_{n+1}\#}$, вообще не понял. Надо разъяснить.

В знаменателе произведение простых от первого до n+1-го (праймориал), в числителе - простых, уменьшенных на 1.

[serg_yy]

Altenter в сообщении #1707564 писал(а):

В знаменателе произведение простых от первого до n+1-го (праймориал), в числителе - простых, уменьшенных на 1.

Легко показать (например, индукцией), что сумма первых n членов такого ряда будет равна $1 - \prod\limits_{i=1}^n \frac{p_i-1}{p_i}$. Осталось доказать, что предел указанного произведения равен 0.

[mihaild]

serg_yy в сообщении #1707582 писал(а):

Осталось доказать, что предел указанного произведения равен 0

Это где-то выше (в районе первой страницы темы) сделано.