Ряд, как посчитать?

[Altenter]

Здравствуйте,
Возьмем 1. Возьмем от нее половину, и отложим в сторону. Затем от оставшейся половины возьмем треть, и прибавим к отдельно лежащей половине. Получится, что мы взяли от 1 4/6. От оставшихся 2/6 возьмемчетверть и прибавим к лежащим отдельно частям. Продолжая этот процесс до бесконечности в пределе получим в пределе $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!}{(n+1)!(n+2)!}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n^2+3n+2}=1$

Ну это понятно.
А как посчитать ряд: возьмем от 1 половину и отложим, от оставшейся части возьмем треть и добавим к отдельно лежащей половине. От оставшейся части возьмем 1/5, потом 1/7 и т.д. чему будет равна сумма частей в пределе?

[mihaild]

Гораздо удобнее считать остаток после каждого шага в виде произведения. Сможете его выписать?
Потом прологарифмируйте и посмотрите, к чему стремится логарифм этого произведения.

[svv]

Altenter в сообщении #1707385 писал(а):

А как посчитать ряд: возьмем от 1 половину и отложим, от оставшейся части возьмем треть и добавим к отдельно лежащей половине. От оставшейся части возьмем 1/5, потом 1/7 и т.д. чему будет равна сумма частей в пределе?

А какая тут закономерность? Вы всякий раз делите на очередное простое число?

[Altenter]

mihaild в сообщении #1707389 писал(а):

Гораздо удобнее считать остаток после каждого шага в виде произведения. Сможете его выписать?
Потом прологарифмируйте и посмотрите, к чему стремится логарифм этого произведения.

Спасибо, сейчас проблемы с интернетом, пока подумаю.
Упустил а стартоаом сообщении знак суммы.

-- 27.10.2025, 22:12 --

svv в сообщении #1707391 писал(а):

Altenter в сообщении #1707385 писал(а):

А как посчитать ряд: возьмем от 1 половину и отложим, от оставшейся части возьмем треть и добавим к отдельно лежащей половине. От оставшейся части возьмем 1/5, потом 1/7 и т.д. чему будет равна сумма частей в пределе?

А какая тут закономерность? Вы всякий раз делите на очередное простое число?

Да, после перекладывания в отдельную сумму остаток делится на очередное простое число.

[Altenter]

mihaild в сообщении #1707389 писал(а):

Гораздо удобнее считать остаток после каждого шага в виде произведения. Сможете его выписать?
Потом прологарифмируйте и посмотрите, к чему стремится логарифм этого произведения.

Что-то не соображу, как остаток выписать в виде произведения. Там же приведение к общему знаменателю и разность. Понятно только, что знаменатель остатка праймориал. А вот как выразить числитель через произведение сходу не соображу

[svv]

У Вас два сосуда, $A$ и $B$. Вначале в $A$ количество воды $a_0=1$, в $B$ количество воды $b_0=0$. После $k$-го шага количество воды в сосудах будет $a_k$ и $b_k$.

Вы ввели такое правило, что сколько воды берётся из $A$, столько добавляется в $B$. Следовательно, после любого шага $a_k+b_k=1$. Но вывести формулу для $a_k$ легче. Когда Вы забираете из $A$, например, $1/7$ часть воды, то это означает, что Вы оставляете там $\frac 6 7=\frac{7-1}{7}$ от той воды, что там была, верно? В общем случае, забирая $\frac 1{p_k}$ часть воды из $A$, Вы умножаете количество воды в $A$ на $\frac{p_k-1}{p_k}$.

Получается:
$a_0=1$
$a_1=a_0\cdot \frac{p_1-1}{p_1}=a_0\cdot \frac 1 2$
$a_2=a_1\cdot \frac{p_2-1}{p_2}=a_1\cdot \frac 2 3$
$a_3=a_2\cdot \frac{p_3-1}{p_3}=a_2\cdot \frac 4 5$
Сможете теперь написать?
$a_n=a_0\prod\limits_{k=1}^n ???$

[Altenter]

svv в сообщении #1707407 писал(а):

У Вас два сосуда, $A$ и $B$. Вначале в $A$ количество воды $a_0=1$, в $B$ количество воды $b_0=0$. После $k$-го шага количество воды в сосудах будет $a_k$ и $b_k$.

Вы ввели такое правило, что сколько воды берётся из $A$, столько добавляется в $B$. Следовательно, после любого шага $a_k+b_k=1$. Но вывести формулу для $a_k$ легче. Когда Вы забираете из $A$, например, $1/7$ часть воды, то это означает, что Вы оставляете там $\frac 6 7=\frac{7-1}{7}$ от той воды, что там была, верно? В общем случае, забирая $\frac 1{p_k}$ часть воды из $A$, Вы умножаете количество воды в $A$ на $\frac{p_k-1}{p_k}$.

Получается:
$a_0=1$
$a_1=a_0\cdot \frac{p_1-1}{p_1}=a_0\cdot \frac 1 2$
$a_2=a_1\cdot \frac{p_2-1}{p_2}=a_1\cdot \frac 2 3$
$a_3=a_2\cdot \frac{p_3-1}{p_3}=a_2\cdot \frac 4 5$
Сможете теперь написать?
$a_n=a_0\prod\limits_{k=1}^n ???$

Спасибо!
$a_n=a_0\prod\limits_{k=1}^n \frac{p_k-1}{p_k}$?
Еще непонятно как увидеть к чему стремится этот остаток в пределе. Неужели к 0?

-- 28.10.2025, 12:46 --

И еще оффтопный и возможно глупый вопрос: а не могли ли "британские учоные" ошибиться при вычислении суммы обратных квадратов простых? Было бы очень красиво, если бы она оказадась равна $\frac{e}{6}$ по аналогии с суммой обратных квадратов натуральных $\frac{\pi^2}{6}$. Их результат отличается от $\frac{e}{6}$ в 4 знаке после запятой. Интересно, как они считали эту сумму.

[svv]

Altenter в сообщении #1707419 писал(а):

Спасибо!
$a_n=a_0\prod\limits_{k=1}^n \frac{p_k-1}{p_k}$?

Да, правильно. Ещё можно убрать множитель $a_0=1$:
$a_n=\prod\limits_{k=1}^n \frac{p_k-1}{p_k}$
Оказывается, что
$\lim\limits_{n\to\infty}a_n = \lim\limits_{n\to\infty}\prod\limits_{k=1}^n \frac{p_k-1}{p_k}= \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{10}{11}\cdot\ldots=0$

Altenter в сообщении #1707419 писал(а):

Еще непонятно как увидеть к чему стремится этот остаток в пределе. Неужели к 0?

Да. Как это увидеть? Я не умею это доказывать «с нуля», но знаю, как это вывести из известного факта, что ряд обратных простых расходится:
$\frac 1 2+\frac 1 3+\frac 1 5+\frac 1 7+\frac 1{11}+\ldots=\infty$
Каждый знаменатель уменьшим на $1$, от этого каждый член ряда станет больше, а потому
$\frac 1 1+\frac 1 2+\frac 1 4+\frac 1 6+\frac 1{10}+\ldots=\infty$
Следовательно,
$(1+\frac 1 2)(1+\frac 1 4)(1+\frac 1 6)(1+\frac 1{10})\ldots=\frac 3 2\cdot\frac 5 4\cdot\frac 7 6\cdot\frac{11}{10}\cdot\ldots=\infty$
(попробуйте сами увидеть, как это получается из предыдущей формулы). А отсюда рукой подать до нашего произведения.

-- Вт окт 28, 2025 13:31:46 --

(Оффтоп)

Altenter в сообщении #1707405 писал(а):

лежу сейчас с ковидом, с температурой 39

Выздоравливайте поскорее. Если не секрет, Вы прививались от ковида (когда-нибудь)?

[Null]

$a_n^{-1}=\prod\limits_{k=1}^n \frac{p_k}{p_k-1}=\prod\limits_{k=1}^n (1+\frac{1}{p_k}+\frac{1}{p_k^2}+\frac{1}{p_k^3}+\frac{1}{p_k^4}+\dots)>1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{p_n}$

[Altenter]

svv в сообщении #1707433 писал(а):

Altenter в сообщении #1707419 писал(а):

Спасибо!
$a_n=a_0\prod\limits_{k=1}^n \frac{p_k-1}{p_k}$?

Да, правильно. Ещё можно убрать множитель $a_0=1$:
$a_n=\prod\limits_{k=1}^n \frac{p_k-1}{p_k}$
Оказывается, что
$\lim\limits_{n\to\infty}a_n = \lim\limits_{n\to\infty}\prod\limits_{k=1}^n \frac{p_k-1}{p_k}= \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{10}{11}\cdot\ldots=0$

Altenter в сообщении #1707419 писал(а):

Еще непонятно как увидеть к чему стремится этот остаток в пределе. Неужели к 0?

Да. Как это увидеть? Я не умею это доказывать «с нуля», но знаю, как это вывести из известного факта, что ряд обратных простых расходится:
$\frac 1 2+\frac 1 3+\frac 1 5+\frac 1 7+\frac 1{11}+\ldots=\infty$
Каждый знаменатель уменьшим на $1$, от этого каждый член ряда станет больше, а потому
$\frac 1 1+\frac 1 2+\frac 1 4+\frac 1 6+\frac 1{10}+\ldots=\infty$
Следовательно,
$(1+\frac 1 2)(1+\frac 1 4)(1+\frac 1 6)(1+\frac 1{10})\ldots=\frac 3 2\cdot\frac 5 4\cdot\frac 7 6\cdot\frac{11}{10}\cdot\ldots=\infty$
(попробуйте сами увидеть, как это получается из предыдущей формулы). А отсюда рукой подать до нашего произведения.

Спасибо. Вы все подробно разжевали. Все понял.

-- Вт окт 28, 2025 13:31:46 --

svv в сообщении #1707433 писал(а):

(Оффтоп)

Altenter в сообщении #1707405 писал(а):

лежу сейчас с ковидом, с температурой 39

Выздоравливайте поскорее. Если не секрет, Вы прививались от ковида (когда-нибудь)?

(Оффтоп)

Спасибо, критическую фазу уже прошел, температура пошла на спад. Никогда не прививался от ковида. Чувствовал, что это зло. Каждый год болел в феврале 1 раз в легкой форме. Но в этом году заболел в октябре и не так легко все проходило. Лечусь народными средствами, чаи с травами, мед, варенья. Верю в теорию заговора, поэтому ничего хорошего от прививок, продуктов со штрихкодами из магазина и т.д. не ожидаю. Ну например, молоко можно привезти в магазин 1 раз в месяц и оно не испортится, но для этого надо добавить консервант, а можно привозить через день и оно будет на 3-й день скисать. Привозить раз в месяц выгоднее- меньше транспортных расходов, меньше испорченного, просроченного продукта и это дает больше прибыли или возможность снизить цену и потеснить конкурентов и т.д. Но цена этой прибыли - здоровье покупателей, которые едят консерванты. И примерно по такой схеме работает рыночная экономика и если посмотреть на США, например, то там этих продуктов здоровых и нет вовсе. Экономическая целесообразность и выгода выше здоровья человека. Ну а почему какая-то забота о здоровье человека и его генетике должна быть в прививках при таком подходе? Властьимущим и элитам важна стабильность экономики, чтобы продукты производились, прибыль шла, а генетика и здоровье- они на втором плане, а то и вовсе на противоположной стороне)))

-- 28.10.2025, 16:24 --

Null в сообщении #1707440 писал(а):

$a_n^{-1}=\prod\limits_{k=1}^n \frac{p_k}{p_k-1}=\prod\limits_{k=1}^n (1+\frac{1}{p_k}+\frac{1}{p_k^2}+\frac{1}{p_k^3}+\frac{1}{p_k^4}+\dots)>1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{p_n}$

Спасибо.

[svv]

(Оффтоп)

Спасибо за ответ. У меня примерно то же отношение (которое я, конечно, никому не навязываю ).

[Altenter]

Подведем итог. Приведены 2 способа разбиения 1 на бесконечные суммы дробей: по натуральным и по простым. Приводят оба способа к одному результату. Значит ли это, что слагаемые одного способа можно преобразовать в слагаемые другого способа?
Значит ли это, что простые числа в каком-то смысле эквивалентны натуральным? И в каком смысле?

[mihaild]

Altenter в сообщении #1707448 писал(а):

Приведены 2 способа разбиения 1 на бесконечные суммы дробей: по натуральным и по простым. Приводят оба способа к одному результату. Значит ли это, что слагаемые одного способа можно преобразовать в слагаемые другого способа?

То же самое можно получить из любого расходящегося ряда с положительными членами, стремящимися к нулю. Так что "преобразовать" можно разве что в каком-то общем до бесполезности смысле.

[Altenter]

mihaild в сообщении #1707449 писал(а):

Altenter в сообщении #1707448 писал(а):

Приведены 2 способа разбиения 1 на бесконечные суммы дробей: по натуральным и по простым. Приводят оба способа к одному результату. Значит ли это, что слагаемые одного способа можно преобразовать в слагаемые другого способа?

То же самое можно получить из любого расходящегося ряда с положительными членами, стремящимися к нулю. Так что "преобразовать" можно разве что в каком-то общем до бесполезности смысле.

Имеется ввиду преобразовать так, чтобы слагаемые складывать, делить на части и пытаться пооучить другой ряд таким образом. Например модет получиться, что это сделать невозможно. К примеру будет получатся из натурального ряда ряд в 6 раз больше простого и множитель 1/6. Перед рядом.

-- 28.10.2025, 18:57 --

mihaild в сообщении #1707449 писал(а):

Altenter в сообщении #1707448 писал(а):

Приведены 2 способа разбиения 1 на бесконечные суммы дробей: по натуральным и по простым. Приводят оба способа к одному результату. Значит ли это, что слагаемые одного способа можно преобразовать в слагаемые другого способа?

То же самое можно получить из любого расходящегося ряда с положительными членами, стремящимися к нулю. Так что "преобразовать" можно разве что в каком-то общем до бесполезности смысле.

Конечно, не подразумевается под преобразованием поставить знак равенства между рядами.
Имеется ввиду преобразовать так, чтобы слагаемые складывать, делить на части и пытаться получить другой ряд таким образом. Например может получиться, что это сделать невозможно. К примеру будет получаться из натурального ряда ряд в 6 раз больше чем из простого и множитель 1/6 перед рядом. А в этом смысл уже есть.

[mihaild]

Altenter в сообщении #1707450 писал(а):

А в этом смысл уже есть

Если и есть, то мне он недоступен.
Какие преобразования разрешены?