Ряд, как посчитать?

[Altenter]

mihaild в сообщении #1707453 писал(а):

Altenter в сообщении #1707450 писал(а):

А в этом смысл уже есть

Если и есть, то мне он недоступен.
Какие преобразования разрешены?

Делить члены ряда на рациональные дроби и складывать. Смысл- хотябынатуральный раскладывается в 6 простых.

[mihaild]

Altenter в сообщении #1707454 писал(а):

Делить члены ряда на рациональные дроби и складывать

"Делить на рациональные дроби" в смысле делить член на рациональное число, или заменять член равной ему суммой рациональных чисел (а еще заменять несколько членов их суммой)?
В обоих случаях, таким образом любой расходящийся ряд с положительными рациональными членами преобразуется в любой другой расходящийся ряд с положительными рациональными членами.

[Altenter]

mihaild в сообщении #1707455 писал(а):

Altenter в сообщении #1707454 писал(а):

Делить члены ряда на рациональные дроби и складывать

"Делить на рациональные дроби" в смысле делить член на рациональное число, или заменять член равной ему суммой рациональных чисел (а еще заменять несколько членов их суммой)?

Да, заменить член суммой рациональных дробей. Или несколько членов сложить так, чтобы получить член другого ряда.

mihaild в сообщении #1707455 писал(а):

В обоих случаях, таким образом любой расходящийся ряд с положительными рациональными членами преобразуется в любой другой расходящийся ряд с положительными рациональными членами.

У нас 2 сходящихся к 1 ряда.

[mihaild]

Altenter в сообщении #1707465 писал(а):

У нас 2 сходящихся к 1 ряда

Ну и два ряда с одинаковой суммой тоже один в другой преобразуются очевидным образом.

[Altenter]

mihaild в сообщении #1707467 писал(а):

Altenter в сообщении #1707465 писал(а):

У нас 2 сходящихся к 1 ряда

Ну и два ряда с одинаковой суммой тоже один в другой преобразуются очевидным образом.

Можете это показать, какие члены в какие и как преобразуются, а то мне не очевидно.

[mihaild]

Altenter в сообщении #1707470 писал(а):

какие члены в какие и как преобразуются, а то мне не очевидно

У нас есть два ряда: $a_1 + a_2 + \ldots = b_1 + b_2 + \ldots$. Мы хотим Вашими преобразованиями преобразовать первый во второй.
Начните со случая $a_1 > b_1$. Преобразуйте первый ряд так, чтобы его первый член стал равен $b_1$.

[Altenter]

mihaild в сообщении #1707474 писал(а):

Altenter в сообщении #1707470 писал(а):

какие члены в какие и как преобразуются, а то мне не очевидно

У нас есть два ряда: $a_1 + a_2 + \ldots = b_1 + b_2 + \ldots$. Мы хотим Вашими преобразованиями преобразовать первый во второй.
Начните со случая $a_1 > b_1$. Преобразуйте первый ряд так, чтобы его первый член стал равен $b_1$.

Ну это легко, однако членов бесконечное количество и надо найти закономерность их преобразования, т.к. построить все преобразование таким образом не выйдет. Т.е. задача в том и состоит, чтобы отыскать закономерность в зависимости от номера члена ряда.

[mihaild]

Altenter в сообщении #1707475 писал(а):

и надо найти закономерность их преобразования, т.к. построить все преобразование

Что такое "закономерность"? Что такое "построить"?
Точное утверждение такое: для двух последовательностей с равными суммами, существует последовательность преобразований, такая, что при её применении к первой последовательности, каждый член стабилизируется за конечное число операций, на значении, равном соответствующему члену второй последовательности.

[Altenter]

mihaild в сообщении #1707477 писал(а):

Altenter в сообщении #1707475 писал(а):

и надо найти закономерность их преобразования, т.к. построить все преобразование

Что такое "закономерность"? Что такое "построить"?
Точное утверждение такое: для двух последовательностей с равными суммами, существует последовательность преобразований, такая, что при её применении к первой последовательности, каждый член стабилизируется за конечное число операций, на значении, равном соответствующему члену второй последовательности.

Это понятно. Но это не значит, что между членами последовательностей не может быть такого преобразования, которое задается закономерностью от номера члена последовательности. Что такое закономерность? Ну это формула, по которой из членов одной последовательности получаются члены другой в зависимости от их номеров. Рекурентная формула или более сложная.

[mihaild]

Altenter в сообщении #1707481 писал(а):

Ну это формула, по которой из членов одной последовательности получаются члены другой в зависимости от их номеров

Поскольку преобразования разные для разных последовательностей, то для каждой последовательности нужна своя формула. И легко выписывается общий вид такой формулы через члены последовательностей.

[Altenter]

mihaild в сообщении #1707487 писал(а):

Altenter в сообщении #1707481 писал(а):

Ну это формула, по которой из членов одной последовательности получаются члены другой в зависимости от их номеров

Поскольку преобразования разные для разных последовательностей, то для каждой последовательности нужна своя формула. И легко выписывается общий вид такой формулы через члены последовательностей.

Вот есть 2 последовательности разбиения 1 на части: по натуральным делителям: 1/2, 1/6, 2/24, 6/120,.... и по простым: 1/2, 1/6, 2/30, 8/210,..... и нам необходимо преобразовать первую последовательность ко второй. Первые 2 члена совпадают, 2/24>2/30, поэтому мы можем представить 2/24 как сумму 2/30 и какого-то остатка. Но и последующие члены первой последовательности больше членов с теми же номерами второй. И мы будем все время получать ненулевой возрастающий остаток. А нам необходимо делать преобразования так, чтобы этот остаток убывал или стал нулем. Как гипотеза: последовательность с натуральными делителями преобразуется в несколько последовательностей с простыми и появляется множитель обратно пропорциональный количеству этих последовательностей или что-то более сложное в этом роде. Например отдельные члены будут повторяться по несколько раз.

-- 29.10.2025, 11:33 --

Допустим, если мы будем действовать вышеописанным образом и остаток будет возрастать и будет представлять собой ряд, сходящийся к 1 и мы получим в пределе необходимый ряд с простыми делителями, который тоже сходится к 1. Тогда берем ряд остатка и пытаемся из него получить ряд с простыми делителями еще раз, если снова возникает остаток, то еще раз, пока не приведем остаток к 0.
Короче, поле для фантазий и экспериментов безграничное, причем на пустом месте.

[mihaild]

Altenter в сообщении #1707504 писал(а):

Но и последующие члены первой последовательности больше членов с теми же номерами второй

Тогда у них разная сумма (либо у обоих бесконечная, я уже перестал понимать, какой тут ряд и какой общий член).

Altenter в сообщении #1707504 писал(а):

Короче, поле для фантазий и экспериментов безграничное, причем на пустом месте

И, что характерно, с таким же множеством ожидаемых полезных результатов.

[Altenter]

mihaild в сообщении #1707526 писал(а):

Altenter в сообщении #1707504 писал(а):

Но и последующие члены первой последовательности больше членов с теми же номерами второй

Тогда у них разная сумма (либо у обоих бесконечная, я уже перестал понимать, какой тут ряд и какой общий член).

Мы к этим последовательностям искали остаток, он стремился к 0 как было показано выше, значит сами обе последовательности стремились к 1 и являлись ее разбиениями с алгоритмом, описанным в стартовом посте. Просто при почленной работе с бесконечными последовательностями могут возникать чудеса.

mihaild в сообщении #1707526 писал(а):

Altenter в сообщении #1707504 писал(а):

Короче, поле для фантазий и экспериментов безграничное, причем на пустом месте

И, что характерно, с таким же множеством ожидаемых полезных результатов.

Но бывают же еще и неожиданные полезные результаты)

[mihaild]

Altenter в сообщении #1707530 писал(а):

Мы к этим последовательностям искали остаток, он стремился к 0 как было показано выше, значит сами обе последовательности стремились к 1 и являлись ее разбиениями с алгоритмом, описанным в стартовом посте.

Так суммы одинаковые (и конечные), или нет?
Если да, то остаток при преобразовании будет стремиться к нулю.

Altenter в сообщении #1707530 писал(а):

Просто при почленной работе с бесконечными последовательностями могут возникать чудеса

Не могут, если знать, как с ними работать. Собственно если все члены одного знака, то довольно мало что удивительного может произойти.

[Altenter]

mihaild в сообщении #1707539 писал(а):

Altenter в сообщении #1707530 писал(а):

Мы к этим последовательностям искали остаток, он стремился к 0 как было показано выше, значит сами обе последовательности стремились к 1 и являлись ее разбиениями с алгоритмом, описанным в стартовом посте.

Так суммы одинаковые (и конечные), или нет?

Обе суммы равны 1.

mihaild в сообщении #1707539 писал(а):

Если да, то остаток при преобразовании будет стремиться к нулю.

Я этого не вижу, объясняю почему и стараюсь понять, но Вы пока утверждаете это в общих фразах. А я предлагаю рассмотреть на примере почленного преобразования, т.к. вижу, что не стремится остаток к нулю.

mihaild в сообщении #1707539 писал(а):

Altenter в сообщении #1707530 писал(а):

Просто при почленной работе с бесконечными последовательностями могут возникать чудеса

Не могут, если знать, как с ними работать. Собственно если все члены одного знака, то довольно мало что удивительного может произойти.

Надо верить в чудеса)