Самое главное что именно количество делителей ведь интересует, а не то как именно они соберутся.
Для моих целей интересует именно количество делителей.
-- 08.10.2025, 08:14 --Насколько помню, VAL убеждал, что различия если и есть, то крошечные. И в итоге было решено проверять все 46080. Поэтому и компиляция занимала так много времени, что для каждого паттерна компилилась своя программа.
Но. Впс два года занимался кортежами. Был придуман приём, который я назвал "разбиение по чистоте". И мы с Демисом тщательно проверили реальный эффект от него, попутно найдя весьма немало кортежей.
Именно для оценки "качества" паттернов (и не только) решалась задача по оценке вероятности найти цепочку по паттерну за один раз.
В целом она решена. Хотя и требует вычислительных экспериментов для каждого паттерна.
Ниже опишу пошаговую "инструкцию". Чтобы в одном месте было.
-- 08.10.2025, 08:34 --1. Шаг 1.
Считаем "базовые" вероятности

для нахождения чисел, свободных от квадратов, с

простыми различными делителями.
Для этого берем:
Асимптотическая формула для количества

-почти простых чисел

, при фиксированном

:

И дифференцируем:

"Базовые вероятности" для каждого

зависят только от

.
Можно брать с точностью до

. Я в своих экспериментах брал полную производную.
2. Шаг 2. Считаем "базовые" вероятности

- для каждого места в шаблоне.
Для каждого i-го места в шаблоне считаем
а)

- произведение всех множителей, заданных шаблоном
б)

- число, где ищем неизвестные с учетом, что оно меньше, чем

в) подставляем

в "базовые вероятности":

.

- тоже задаётся шаблоном, это необходимое количество простых множителей в неизвестном числе.
"Базовые" вероятности

для каждого места в шаблоне зависят от

и от самого шаблона. Но не от способа "запуска шаблона".
3. Шаг3. Фильтрация при запуске расчета по шаблону и поправочные коэффициенты.
Как известно, применение шаблона с найденным шагом даёт "бракованные" цепочки: для каждой второй добавляется лишняя двойка, для каждой третьей - лишняя тройка и т.д.
Как для "боевого" расчета, та и для расчетов для нахождения поправочных коэффициентов, должна выполняться предварительная фильтрация для исключения всех таких цепочек.Дальнейшее справедливо при соблюдении этого условия.
При применении шаблона гарантируется, что неизвестные числа не делятся на простые, которые применяются в шаблоне. Это сильно увеличивает вероятность найти простое, менее сильно увеличивает вероятность найти

и т.д.
Поэтому нужно найти поправочные коэффициенты

- насколько увеличиваются "базовые вероятности" при применении шаблона.
Поправочный коэффициент для неизвестных простых легко рассчитывается аналитически:

, где произведение считается по всем простым, которые используются в шаблоне в любой степени (в расчете используется первая степень для всех простых!).
Для бОльшего количество простых множителей у меня нет аналитического выражения для поправочных коэффициентов (для

), их нужно рассчитывать численно. Об этом ниже.
Поправочные коэффициенты зависят от шаблона (от того какие простые числа там используются), но не зависят от

и от номера места в шаблоне (то есть для всех неизвестных простых будет один и тот же поправочный коэффициент, для всех

- один и тот же свой, и т.д.)
4. Шаг 4. Финальный.
Умножаем базовые вероятности для каждого места в шаблоне на поправочный коэффициент, и получаем вероятность найти подходящее неизвестное число для каждого места в шаблоне:

Можно эти вероятности перемножить и получить вероятность найти цепочку за одну проверку для данного шаблона, если искать в районе числа

.