Если для Вас все очевидно, то быть может Вы можете объяснить мне как может быть такое, что при рассмотрении обменных процессов в движущемся стержне между атомами, расположенными на оси движения, в одну сторону скорость обменных процессов будет одной, а в другую- другой?
Altenter, я охотно попытался бы объяснить, если бы сначала Вы объяснили, что Вы подразумеваете под "обменными процессами" и как Вы учитываете эти загадочные (для меня) "обменные процессы" в Вашем выводе формул. Что, чем, как и почему "обменивается" в стержне?
Так как мне не известен Ваш уровень подготовки, то на всякий случай я написал длинные простые
(пояснения к выложенным выше картинкам)
Под "очевидно" я подразумевал всё то, что явно видно на приведённых выше пространственно-временных диаграммах (для краткости буду называть их ПВ-картами; не в смысле игральные, а по аналогии с географическими). Считайте, что там начерчены просто траектории разных точек, движущихся и покоящихся относительно заданной инерциальной системы отсчёта (ИСО), т.е. это графики функций

для точек, имеющих определённые значения координаты

в каждый момент времени

отсчитанному по всюду в данной ИСО эйнштейновски синхронизованным часам. Графики изображены как функции от

где

это скорость света, и, кроме того, ось времени изображена не горизонтально, а вертикально - так принято в книгах по СТО. Эти графики называются мировыми линиями. В другой ИСО - свои синхронизованные часы, они отсчитывают время

Все ИСО равноправны.
Если под "обменным процессом" Вы подразумеваете, например, вот такую картину: "атом" внутри стержня в какой-то точке

в момент времени

испустил две порции света (короткие импульсики), одну по ходу движения стержня направо, а другую налево, то опять очевидно, что получится. Свет от заданной точки

в обе стороны движется с одной и той же скоростью

При этом левый конец стержня движется навстречу точке

и поэтому свет пройдёт меньший путь до встречи с атомами на левом конце движущегося стержня, чем было бы в случае покоящегося стержня. А правый конец удаляется от точки

и свет пройдёт больший путь, прежде чем догонит атомы в правом конце. Из-за этой разницы путей и возникает разница времён встречи света с атомами на концах "туда-обратно".
Выше на первой ПВ-карте это видно, но только там вместо мировых линий атомов стержня изображены мировые линии двух движущихся зеркал, левого и правого. Мировая линия скачущего между зеркалами импульса света нарисована красным цветом. И аналогично изображена такая же пара неподвижных в данной ИСО зеркал. Скорость движущихся зеркал Вы можете легко узнать из того, что событие О имеет координаты

а, например, событие 4', соответствующее положению дижущегося левого зеркала в момент времени

имеет координату

Значит, скорость, отнесённая к скорости света есть

Всё! Теперь, зная в этом примере

Вы можете по формулам преобразований Лоренца рассчитывать мировые координаты событий в обеих ИСО,

и

Посчитайте для примера мировые координаты события 1'; в этом событии происходит первый (после события О) отскок светового импульса от правого зеркала в паре движущихся зеркал. Получается ответ

точно как на рисунке.
И тем самым выясняется, почему на том рисунке расстояние между движущимися зеркалами на оси

в момент времени, например,

равно не

как между неподвижными зеркалами, а только

единиц длины. Это "лоренцево сокращение длины". Как видите, его не пришлось привлекать сюда отдельно, оно автоматически следует из преобразований Лоренца.
Всё это обобщается и на 4-мерную картину - с четырьмя мировыми координатами событий:

Но рисовать наглядные рисунки уже будет сложно.
Теперь предствьте себе другой пример: в каждой паре зеркал пусть зеркала расположены близко-близко к друг другу; и сами они пусть маленькие-маленькие. Так что это уже и не зеркала, а маленькие тела - то, что в физике называют материальными точками.
Если представить себе, что внутри каждой такой материальной точки атомы обмениваются (я стараюсь говорить Вашими словами :) световыми сигналами, и эти акты обмена играют роль "тикания внутренних часов", как было в паре зеркал, то и результат получается аналогичный результату в примере с зеркалами. А именно: такое внутреннее время внутри движущегося тела оказывается замедленным по сравнению с временем неподвижного тела.
Конкретно, на упомянутом рисунке с зеркалами мы видим, что в нештрихованной ИСО событие А происходит после события О через

стандартных единиц времени неподвижного тела, а одновременное с ним событие В происходит лишь через 8 единиц времени по внутренним часам движущегося тела.
В СТО вместо придуманного мной здесь термина "внутреннее время тела" общепринят термин:
собственное время 
материальной точки на её мировой линии. Оно вычисляется не только для прямолинейных, но и для искривлённых мировых линий - интегрированием вдоль мировой линии, т.е. суммированием вкладов

от столь коротких отрезков мировой линии, что на отрезке скорость

движущейся материальной точки можно считать постоянной. Формула для собственноого времени на отрезке с постоянной скоростью гласит:

где

- интервал времени, соответствующий тому же отрезку мировой линии на карте пространства-времени с ИСО

причем

- скорость относительно этой ИСО.
Понятие собственного времени не привязано к картине обмена именно световыми сигналами внутри тела. Вы можете составить себе аналогичный рассказ на основе приведённых выше рисунков с "мячиковыми часами"; заодно там выявите ещё один эффект: релятивистское правило "сложения" скоростей, которое не позволяет скорости мячика ни в какой ИСО оказаться равной или большей скорости света.
Величина

для заданного отрезка заданной мировой линии не зависит от выбора ИСО. То есть: на ПВ-картах с разными ИСО форма мировой линии одного и того же тела будет выглядеть по-разному,

для одного и того же заданного отрезка заданной мировой линии будет разным, и скорость тела

на этом отрезке будет разной - всё это зависит от выбора ИСО, но интервал собственного времени

получится одним и тем же. Из формулы видно, что

обязательно меньше, чем

если

Этот факт служит поводом говорить о релятивистском замедлении времени.
На моих картинках "обменные процессы" это отражения светового импульса и отскоки мячика. Но, возможно, Вы под "обменными процессами" имели в виду что-то другое, своё. Или, может быть, в своих рассуждениях не учитываете лоренцево сокращение длины движущегося стержня, не пользуетесь преобразованиями Лоренца. В СТО всё это можно вывести в общем виде, пользуясь векторной алгеброй и более сложным формализмом - тензорной математикой; такой вывод применим ко всем "направлениям процессов".
Или, может быть, Вы рассуждениями об "обменных процессах" как раз и хотите выявить физику лоренцева сокращения, хотите понять, что происходит с картиной взаимодействия атомов в теле, если это взаимодействие рассматривать в ИСО, относительно которой тело движется. Это интересный, но большой и непростой сюжет, в один пост не уместится. Уточните, об этом ли речь.
Или, может быть, Вы решили вообще самостоятельно вывести себе всю СТО - с преобразованиями Лоренца, со всеми релятивистскими эффектами и приложениями к физике полей, элементарных частиц и их взаимодействий. Без учебников это нереальная задача. СТО не состоит из отдельных кусков, в ней всё взаимосвязано и всё целиком согласовано с остальными разделами физики. Следует сказать даже наоборот: все разделы физики на
фундаментальном уровне подчиняются СТО; так что любой частный процесс, если его рассматривать не как-нибудь, а в соответствии с описывающими его релятивистскими уравнениями физики, окажется согласующимся с формулами СТО. (Говорю о локальной физике. На космологических же масштабах, да и просто на космических, где главную роль играют гравитационные явления, всё сильно сложнее, там надо владеть уже намного более сложными знаниями - ОТО).
Почему локально во всех явлениях работает СТО (на фундаментальном уровне, а в нерелятивистском-то приближении она не нужна), можно пояснить аналогией из обычной нерелятивистской физики. Мы знаем, что в физике действует закон сохранения энергии. А также - закон сохранения импульса. И закон сохранения момента импульса. (Всё это для замкнутой системы). Какова причина появления этих законов? Теория показывает, что причина фундаментальная - это однородность времени, а также однородность и изотропия пространства, в котором все явления-то и разыгрываются. Кто-то может рассматривать самые разные явления, и покопавшись детально в каждом частном примере, в итоге удивится: "Что за чудо? Почему всякий раз энергия замкнутой системы оказывается не меняющейся со временем?" (И аналогично можно удивляться другим законам сохранения). Ответ: эти законы сохранения есть следствие симметрий пространства и времени.
В СТО аналогичным образом фундаментальную роль играет геометрия пространства-времени. Ей и подчинены все остальные законы физики. Поэтому в каждом частном примере (хоть поперёк стержня, хоть вдоль, хоть наискосок :) если любое явление рассматривать строго по релятивистским законам, то и получится ответ, согласующийся с СТО.
Лучше всего - изучать СТО по книгам и задачникам последовательно, не делая себе поспешных заключений. (Если есть ещё вопросы, задавайте.)