Найти предел последовательности, используя непрерывность

[Gecko]

Используя непрерывность соответствующей функции, вычислить предел последовательности $a_n = (1 + \frac{x_n}{n})^n$, если $\lim\limits_{n \to\infty} x_n = x \in \mathbb{R}$.
Понятно, что ответ будет $e^x$. Но я могу его получить, только если независимо устремляю к бесконечности $n$ для $x_n$ и $n$ в знаменателе и показателе степени. Но это как-то неправильно. Это же одна и та же $n$.

[GAA]

Нужно посмотреть в конспекте или рекомендованном учебнике определение степенно-показательной функции.
Если $u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$, то все просто:
$\lim\limits_{n \to \infty} ( 1 + x_n/n)^n = \lim\limits_{n \to \infty} e^{n\ln(1+x_n/n)}$.
Предел аргумента экспоненты вычисляется легко, учитывая, что $x_n/n$ бесконечно малая функция:
$\lim\limits_{n \to \infty} n \ln(1+x_n/n) = \lim\limits_{n \to \infty} n x_n/n = \lim\limits_{n \to \infty} x_n = x$.
Используя непрерывность экспоненты, окончательно получаем
$\lim\limits_{n \to \infty} ( 1 + x_n/n)^n =e^x$.

[Gecko]

Всё понятно, спасибо!
Еще одна задачка из похожей серии.
Последовательности $ \{a_n\} $ и $ \{b_n\} $ таковы, что $0 < a_n < 1$, $\lim\limits_{n \to\infty} a_n = 1$, $0 < b < \frac{\pi}{2}$, $\cos b_n = a_n$. Найти $\lim\limits_{n \to\infty}\frac{b_n}{\sqrt{1 - a_n}}$.

Косинус - непрерывная функция, поэтому можем написать, что $\lim\limits_{n \to\infty} a_n = \lim\limits_{n \to\infty} \cos b_n = \cos \lim\limits_{n \to\infty} b_n = 1$, откуда, с учетом того, что $0 < b < \frac{\pi}{2}$, получаем, что $\lim\limits_{n \to\infty} b_n = 0$.

Далее, $\lim\limits_{b_n \to 0} \frac{b_n}{\sqrt{1 - \cos b_n}} = \lim\limits_{b_n \to 0} \frac{b_n}{\sqrt{2 \sin^2 b_n/2}} = \lim\limits_{b_n \to 0} \frac{2 b_n / 2}{\sqrt{2} \sin b_n/2} = \sqrt{2}$.

$f(b_n) = \frac{b_n}{\sqrt{1 - \cos b_n}}$ - непрерывная функция на интервале $0 < b < \frac{\pi}{2}$, значит $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{b_n}{\sqrt{1 - a_n}} = \sqrt{2}$.

Хотелось бы понять, правильны ли мои рассуждения.

[Null]

Gecko в сообщении #1702601 писал(а):

$\lim\limits_{n \to\infty} \cos b_n = \cos \lim\limits_{n \to\infty} b_n $

В этом переходе требуется существование $\lim\limits_{n \to\infty} b_n$

[Gecko]

Ага, тогда попробуем так. Ввиду того, что функция $f(x) = \arccos x $ непрерывна на отрезке [-1, 1]:

$\lim\limits_{n \to\infty} b_n = \lim\limits_{n \to\infty}\arccos a_n = \arccos \lim\limits_{n \to\infty} a_n = \arccos 1 =0$.