Комплексная структура на пространстве матриц

[OlgaD]

Я разбираюсь с понятием (линейной) комплексной структуры на вещественных векторных пространствах. Мне встретился в Википедии пример, который мне не совсем понятен.

Вот мой перевод с английского:
Совокупность $2\times 2$ вещественных матриц $M(2,\mathbb{R})$ над полем вещественных чисел является 4-мерным. Для любой матрицы

$$J=\left(% \begin{array}{cc} a & c \\ b & -a \\ \end{array}% \right),\;a^2+bc=-1$$

ее квадрат совпадает с минус единичной матрицей. Комплексная структура может быть построена в $M(2,\mathbb{R}):$ если $I$ - единичная матрица, элементы $xI+yJ$ с матричным умножением образуют комплексные числа.

Мне непонятно построение комплексной структуры: $x$ и $y$ - здесь вещественные числа?

Я знаю, что имеется взаимно однозначное соответствие между квадратными матрицами порядка 2 и комплексными числами

$$\left(% \begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \\ \end{array}% \right)\;\leftrightarrow\;z=a+bi.$$

Мне непонятно построение комплексной структуры. При рассмотрении $M(2,\mathbb{R})$ как 4-мерного пространства, векторы - это матрицы, поле скаляров - $\mathbb{R}$ (с очевидным базисом). При построении комплексной структуры мы получили 2-мерное пространство с базисом, состоящим из матриц $I$ и $J?$ Элементами этого пространства являются матрицы вида $xI+yJ?$ Почему мы теперь рассматриваем матричное умножение?

[mihaild]

Квадратные матрицы можно рассматривать не только как векторное пространство, но и как алгебру над $\mathbb R$ (алгебра - векторное пространство, на элементах которого определено умножение - т.е. её элементы можно умножать друг на друга).
$\mathbb C$ - двумерная алгебра над $\mathbb R$. $M(2, \mathbb R)$ - четырехмерная, и в ней есть двумерные подалгебры, изоморфные $\mathbb C$. Подмножество алгебры называется подалгеброй, если оно является алгеброй относительно тех же операций (т.е. замкнуто относительно умножения на скаляр, сложения элементов и умножения элементов). Две алгебры называются изоморфными, если между ними существует биекция, сохраняющая все три операции.

И у Вас выписаны две подалгебры, изоморфные $\mathbb R$ - одна подалгебра матриц вида $xI + yJ$, другая - подалгебра матриц вида $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix}$. Для каждого из этих подмножеств есть его биекция $f$ с $\mathbb C$, такая, что, в том числе, $f(A\cdot_M B) = f(A) \cdot_{\mathbb C} f(B)$.

[nnosipov]

OlgaD
Это просто обобщение того примера, который вы знаете (в этом вашем примере взята конкретная матрица $J$ с условием $J^2=-I$, но таких матриц $J$ много).

[OlgaD]

mihaild в сообщении #1702337 писал(а):

Квадратные матрицы можно рассматривать не только как векторное пространство, но и как алгебру над $\mathbb R$ (алгебра - векторное пространство, на элементах которого определено умножение - т.е. её элементы можно умножать друг на друга).
$\mathbb C$ - двумерная алгебра над $\mathbb R$. $M(2, \mathbb R)$ - четырехмерная, и в ней есть двумерные подалгебры, изоморфные $\mathbb C$. Подмножество алгебры называется подалгеброй, если оно является алгеброй относительно тех же операций (т.е. замкнуто относительно умножения на скаляр, сложения элементов и умножения элементов). Две алгебры называются изоморфными, если между ними существует биекция, сохраняющая все три операции.

И у Вас выписаны две подалгебры, изоморфные $\mathbb R$ - одна подалгебра матриц вида $xI + yJ$, другая - подалгебра матриц вида $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix}$. Для каждого из этих подмножеств есть его биекция $f$ с $\mathbb C$, такая, что, в том числе, $f(A\cdot_M B) = f(A) \cdot_{\mathbb C} f(B)$.

Не думаю, что в этом разделе вдруг перешли от рассмотрения векторных пространств к алгебрам и подалгебрам. Спасибо за ваше подробное разъяснение, но думаю имелось в виду другое.

nnosipov в сообщении #1702339 писал(а):

OlgaD
Это просто обобщение того примера, который вы знаете (в этом вашем примере взята конкретная матрица $J$ с условием $J^2=-I$, но таких матриц $J$ много).

Мне бы хотелось разобрать этот пример подробнее.

[mihaild]

OlgaD в сообщении #1702361 писал(а):

Спасибо за ваше подробное разъяснение, но думаю имелось в виду другое

Где именно?
Содержательное утверждение именно такое - подалгебра матриц такого вида изоморфна алгебре комплексных чисел.
Просто двумерных подпространств в $M(2, \mathbb R)$ много, и для всякого такого подпространства есть изоморфизм между ним и $\mathbb C$, как векторным пространством над $\mathbb R$. Но некоторые из этих подпространств и изоморфизмов хороши тем, что они задают изоморфизм не просто векторных пространств, а алгебр - переводят умножение матриц в умножение комплексных чисел.

Если еще что-то непонятно - напишите, пожалуйста, более подробно вопрос. (и если вам нужно понятие "комплексной структуры" - напишите, что в точности под ним понимаете)

[OlgaD]

Если я правильно понимаю, то что прочитала - комплексная структура, это линейный оператор на векторном пространстве, описывающий как строится умножение векторов на комплексные скаляры. В результате, вроде бы, должны получить комплексное векторное пространство.
У меня еще вопрос: коэффициенты $x,y$ в элементах $xI+yJ$ - это вещественные числа? Не получается ли тогда вещественное двумерное пространство?

Главная проблема у меня, кажется, в следующем: я беру вещественное векторное пространство, ввожу на нем комплексную структуру и получаю возможность умножать векторы на комплексные скаляры. Почему здесь мы получаем подпространство $\mathbb{M}(2,\mathbb{R})?$

[mihaild]

OlgaD в сообщении #1702392 писал(а):

это линейный оператор на векторном пространстве, описывающий как строится умножение векторов на комплексные скаляры

Я такого нигде не видел. Как именно "описывающий"?

OlgaD в сообщении #1702392 писал(а):

У меня еще вопрос: коэффициенты $x,y$ в элементах $xI+yJ$ - это вещественные числа?

Да.

OlgaD в сообщении #1702392 писал(а):

Не получается ли тогда вещественное двумерное пространство?

Получается. Комплексные числа - это как раз двумерное вещественное пространство.

[OlgaD]

mihaild в сообщении #1702337 писал(а):

И у Вас выписаны две подалгебры, изоморфные $\mathbb R$ - одна подалгебра матриц вида $xI + yJ$, другая - подалгебра матриц вида $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix}$. Для каждого из этих подмножеств есть его биекция $f$ с $\mathbb C$, такая, что, в том числе, $f(A\cdot_M B) = f(A) \cdot_{\mathbb C} f(B)$.

Если взять матрицу $J=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix},$ то $xI+yJ=\begin{pmatrix} x & -y \\ y & x\end{pmatrix}$ и у меня есть большое подозрение, что это одна и та же подалгебра.