Любопытные факты общей топологии

[SomePupil]

Интуитивно-правдоподобные утверждения в общей топологии часто нетривиальным образом зависят либо от тонкостей аксиоматики типа ZFC, либо требуют для своей верности предположений теоретико-множественного характера. И, наоборот, порой довольно смелые утверждения не требуют каких бы то ни было предположений. Предлагаю делиться любопытными примерами такого рода. Вроде таких:

Утверждение 1. Если каждое открытое множество в метрическом пространстве является счетным объединением шаров, то такое пространство является сепарабельным.

Доказательство утверждения опирается на континуум-гипотезу. Правда, можно несколько ослабить условие, заменив континуум-гипотезу на предположение $2^\omega < 2^{{\omega_1}}.$

Утверждение 2. Пусть $X\;-$ хаусдорфово пространство. Тогда компактность $X$ равносильна:

1) Линделёфовости $X^\kappa$ для любого кардинала $\kappa.$
2) Линделёфовости $X^{\omega_1}.$

Упоминаемое здесь свойство по имени финского математика Эрнста Линделёфа - очень естественное свойство пространства в общей топологии (определение - по ссылке). Её прямая связь с компактностью довольно неожиданна, по крайней мере, для меня. Утверждение доказуемо без привлечения каких-либо гипотез!

Я понимаю, что книга "Контрпримеры в топологии" напичкана такими примерами, но, во-первых, она не является исчерпывающей; к примеру, исходных утверждений там нет. Во-вторых, хотелось бы отобрать наиболее яркие утверждения, которые, может быть, удивили лично Вас или даже поменяли Ваше представление о метрических и топологических пространствах.

-- 16.09.2025, 07:21 --

Утверждение 3. Существует непрерывная (!) сюръекция из множества иррациональных чисел $\mathbb I$ с унаследованной из $\mathbb R$ топологией в $\mathbb R.$

Доказательство. Пусть $f(x)$ есть действительное число с целой частью как у $x$ и у которого каждая $n$-ая цифра после запятой совпадает с $2n-1$ цифрой исходного $x.$ Например, число $\pi$ этой функцией отображается следующим образом:

$$3.1415926535897932384\ldots\,\mapsto\,3.1196387334\ldots$$

Эта функция сюрьективна, так как цифры любого действительного $y$ можно чередовать с любым нецикличным паттерном, а потому $f(x) = y.$ Также она непрерывна, потому что из $x_n \to x$ следует $f(x_n) \to f(x).$ В доказательстве есть даже большой произвол: вместо $n\mapsto 2n-1$ можно выбирать другие правила; на самом деле, можно оставлять какие угодно бесконечные последовательности цифр после запятой.

[SomePupil]

Утверждение 4. Любое множество $X$ мощности не меньше континуума можно снабдить топологией, для которой единственной непрерывной сюръекцией $f\colon X \to X$ является тождественное отображение $f = Id$.

Удивительно, что результат верен даже для метрических пространств! Построение соответствующей топологии можно произвести, пользуясь полным вложением категории графов в категорию метрических пространств с непостоянными отображениями, которая описана в статье [1].

[1] V. Trnková, Non-constant continuous mappings of metric or compact Hausdorff spaces, Comment. Math. Univ. Carolinae 13 (1972) 283–295.

[Padawan]

Меня удивило, что произведение континуума сепарабельных пространств сепарабельно (частный случай теоремы Хьюитта-Марчевского-Пондицери, Энгелькинг Общая топология, стр. 133). Хотя сепарабельность $\mathbb R^\mathbb R$ почти очевидна (это пространство всех функций из $\mathbb R$ в $\mathbb R$ в топологии поточечной сходимости)

-- Вт сен 16, 2025 18:56:23 --

SomePupil в сообщении #1702018 писал(а):

Утверждение 3. Существует непрерывная (!) сюръекция из множества иррациональных чисел $\mathbb I$ с унаследованной из $\mathbb R$ топологией в $\mathbb R.$

Вроде бы любое польское пространство (т.е. гомеоморфное полному сепарабельному метрическому пространству) является непрерывным образом $\mathbb I$. Еще надо сказать, что $\mathbb I$ гомеоморфно $\mathbb N^{\aleph_0}$.