Поверхностное натяжение

[amon]

Theoristos в сообщении #1700866 писал(а):

Мне интересно, кто из решавших восстановил форму мениска.

Там уравнение, которое ни в каких человеческих функциях не интегрируется. Так что олимпиадность в этом месте слегка зашкаливает.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Значит нам нужны нечеловеческие функции!

[amon]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1702009 писал(а):

Значит нам нужны нечеловеческие функции!

Верное замечание. Человеческие - те, что есть в Бейтмене и Эрдеи, остальные - нечеловеческие.

[Theoristos]

amon в сообщении #1702006 писал(а):

Там уравнение, которое ни в каких человеческих функциях не интегрируется. Так что олимпиадность в этом месте слегка зашкаливает.

Есть такой момент.

Но в обратном случае получается очередной интеграл по объёму сферовакуумного коня.

[DimaM]

Ignatovich в сообщении #1700798 писал(а):

Но вижу и другое решение: $V_{\max} = 24\pi\sigma r/\rho g$, $V_{\min}=0$

Гм, второй случай я могу осознать, а вот первый - не очень. Поясните, если можно!

[Ignatovich]

DimaM
На нижнем конце тонкого капилляра пленка жидкости, выпуклая вниз, затем воздушный промежуток и столбик жидкости в толстом капилляре. Но нет уверенности, что равновесие пленки будет устойчивым.

[naskamejke]

А не будет ли какого-нибудь решения? Или намека на него.
Вот я смотрю и все мне кажется, что в случае полного смачивания вниз тянет всегда сильнее, чем вверх.
А в случае полного несмачивания как раз равновесие возможно.

[DimaM]

naskamejke

(Оффтоп)

Обозначим радиус кривизны в верхней части трубки $r_1=\rm r$, в нижней $r_2=\pm 2r$. Перепад давлений от точки
выше верхнего мениска до точки ниже нижнего

$$\Delta P=\frac{2\sigma}{r_1}+\rho gH-\frac{2\sigma}{r_2}=0.$$

Здесь $H$ -- суммарная высота столбика жидкости. Видно, что состояние с $r_1=r$ (сверху выпуклая поверхность) не
может находиться в равновесии.

При $r_1=-r$ получаем два случая:

$$ r_2=-r: \; H_1=\frac{\sigma}{\rho gr},$$

$$ r_2=r: \; H_2=\frac{3\sigma}{\rho gr}.$$

Минимальный объем получается для первого случая, когда практически вся жидкость находится в верхней трубке,

$$V_{\min}=\pi r^2H_1=\frac{\pi r\sigma}{\rho g},$$

а максимальный -- для второго случая, когда практически вся жидкость находится в нижней трубке,

$$V_{\max}=4\pi r^2H_2=\frac{12\pi r\sigma}{\rho g}.$$

[naskamejke]

Так, одну ошибку я у себя нашел (знаки, знаки, и так нечетное число раз). Но почему у вас в одном из вариантов $sign(r_1) = -sign(r_2)$? Это ведь означает смачивание с одной стороны и несмачивание с другой. И почему $\left\lvert r_2\right\rvert = r$ а не $2r$? Это ведь значило бы, что вся (а не почти вся) жидкость находится наверху. В жизни такое бывает, но в задаче врядли.

[DimaM]

naskamejke в сообщении #1708991 писал(а):

Это ведь означает смачивание с одной стороны и несмачивание с другой.

Нет. Если жидкость на краю трубки, мениск получается выпуклым наружу.

[Parkhomuk]

DimaM в сообщении #1709076 писал(а):

Нет. Если жидкость на краю трубки, мениск получается выпуклым наружу.

Не могу согласиться. Будьте добры дать рисунок как этот мениск Вам представляется.

[Mihr]

DimaM в сообщении #1709076 писал(а):

Если жидкость на краю трубки

Но это, вроде, противоречит рисунку.
А если, как на рисунке, жидкость не достигает нижнего края трубки? Тогда максимальный объём жидкости, удерживаемый в области смены диаметров, составит $V_{\max}=\dfrac{4 \pi \sigma r}{\rho g}$?

[DimaM]

Parkhomuk в сообщении #1709079 писал(а):

Будьте добры дать рисунок как этот мениск Вам представляется.

Как здесь, рис. 4.6.6 справа.

-- 13.11.2025, 13:44 --

Mihr в сообщении #1709080 писал(а):

А если, как на рисунке, жидкость не достигает нижнего края трубки?

Тогда это не максимальный объем, по-моему.

[Mihr]

Понятно. Можно по-разному трактовать условие этой задачи, от способа трактовки зависит ответ. Я понял, видимо, так же, как и Parkhomuk: имеется трубка переменного радиуса, достаточно длинная в обе стороны от плоскости смены радиуса. Какой максимальный объём жидкости может удержаться в месте стыка? То есть, считаем трубку заданной и длинной, а варьироваться может лишь объём жидкости. А Вы имели в виду: при условии, что разрешается ещё и варьировать длину самой трубки. Это просто две разные задачи.

[Parkhomuk]

DimaM в сообщении #1709081 писал(а):

Как здесь

На мой взгляд этот рисунок не соответствует (первоначальному рисунку). Здесь у капилляра есть наружная поверхность и тут можно допустить что смачивание полное (на границе к наружной поверхности стенки), в нашем же случае наружной поверхности нет и соответственно такая форма мениска в нашей задаче будет соответствовать полному несмачиванию.

Mihr в сообщении #1709086 писал(а):

Я понял, видимо, так же, как и Parkhomuk

Честно говоря, я не понял какое понимание этой задачи Вы мне приписываете. Мне казалось, что я ее понял ровно так как и написано (разумеется, все допущения, необходимые для решения этой задачи, остаются за решающим).

-- 13.11.2025, 15:47 --

А-а-а ... понял,

Mihr в сообщении #1709086 писал(а):

А Вы имели в виду: при условии, что разрешается ещё и варьировать длину самой трубки. Это просто две разные задачи.

Ну да, если допускается укоротить в ноль тонкую часть и/или ограничить толстую, то да, так и есть, и разночтений с DimaM не будет. Mihr все верно, просто сначала я Вас не понял.