Промежутки возрастания и убывания тригонометрических функций

[Fractals]

Здравствуйте. Пытаюсь разобраться, как анализировать промежутки возрастания и убывания у тригонометрических функций. Мне понятен смысл производной и как ее использовать для исследования других функций. Однако у меня есть некое недопонимание того, как именно расставить критические точки при анализе тригонометрических функций. Ведь при приравнивании производной какой-то обычной функции к нулю, мы получаем несколько корней, которые расставляем на числовой оси. В контексте тригонометрических функций приходится иметь дело с сериями корней. Именно этот момент мне не ясен.

Например, есть функция $f(x) = 2\sin(x/2)+\sin x+x+3$.
Производная этой функции: $f'(x) = \cos(x/2) + \cos x + 1$
Приравниваем производную к нулю, получаем следующие серии корней:
$x = \pi + 2\pi\cdot k$
$x = 4\pi/3 + 4\pi\cdot k$
$x = -4\pi/3 + 4\pi\cdot k$

Подскажите, как теперь выбрать точки для анализа промежутков возрастания и убывания? Я понимаю, что тут надо размышлять из соображений того, что здесь есть период. Но как выбирать эти точки?

[Mikhail_K]

Fractals
Не очень понятно, что значит "выбрать точки". Понадобятся все точки, которые Вы нашли (образующие несколько бесконечных серий).

Можете ли Вы отметить найденные корни на числовой прямой? Ну, не все (их бесконечно много), а некоторое количество - чтобы понимать, как они там вообще расположены?

Можете ли Вы назвать все корни на отрезке $[0,4\pi]$? А на отрезке $[4\pi,8\pi]$? А на отрезке $[4\pi k,4\pi(k+1)]$ с произвольным целым $k$?

Можете ли Вы записать серии корней (те же самые серии) в таком виде, чтобы везде в конце стояло $+4\pi k$, а не $+2\pi k$? Возможно, при этом серий будет не три, а побольше.

[Fractals]

Да, я полагаю, что неправильно выразился. Вот у этой функции есть свой период. Мне непонятно, в каких пределах рассматривать корни из получившихся серий. Вот, например, я взял точки: $\pi, 4\pi/3, 8\pi/3, 3\pi$. Расставил знаки. Получается, что точка $x = \pi$ - максимум. С другой стороны, если прибавить период этой серии корней, то получается $x = 3\pi$, а это уже точка минимума. Но в ответе написано, что $x = \pi + 2\pi \cdot k$ - точка максимума.

Если построить график производной в Desmos, например, то можно выделить те участки этого графика, которые повторяются. Вот как определять эти участки, анализ которых достаточен для того, чтобы найти точки максимума и минимума, а также промежутки возрастания и убывания? Эта задача понятна, когда получается лишь одна серия корней. А когда получается несколько серий, то это вводит меня в тупик.

[Mikhail_K]

Fractals в сообщении #1700912 писал(а):

Получается, что точка $x = \pi$ - максимум. С другой стороны, если прибавить период этой серии корней, то получается $x = 3\pi$, а это уже точка минимума. Но в ответе написано, что $x = \pi + 2\pi \cdot k$ - точка максимума.

Вы правы, а то что по Вашим словам написано в ответе - неверно.
Посмотрите внимательнее: может быть в ответе написано чуть-чуть по-другому?

Fractals в сообщении #1700912 писал(а):

Вот как определять эти участки, анализ которых достаточен для того, чтобы найти точки максимума и минимума, а также промежутки возрастания и убывания? Эта задача понятна, когда получается лишь одна серия корней. А когда получается несколько серий, то это вводит меня в тупик.

См. мой последний вопрос из предыдущего сообщения.
На любом промежутке длины $2\pi$ будет ровно один корень из серии с $+2\pi k$. На любом промежутке длины $4\pi$ будет ровно один корень из серии с $+4\pi k$. А сколько будет корней из серии с $+2\pi k$ на любом промежутке длины $4\pi$?

[Fractals]

Mikhail_K в сообщении #1700913 писал(а):

Fractals в сообщении #1700912 писал(а):

Получается, что точка $x = \pi$ - максимум. С другой стороны, если прибавить период этой серии корней, то получается $x = 3\pi$, а это уже точка минимума. Но в ответе написано, что $x = \pi + 2\pi \cdot k$ - точка максимума.

Вы правы, а то что по Вашим словам написано в ответе - неверно.
Посмотрите внимательнее: может быть в ответе написано чуть-чуть по-другому?

Сейчас еще раз проверил, там написано именно $\pi+2\pi \cdot k$ - точка локального максимума.

Mikhail_K в сообщении #1700913 писал(а):

Fractals в сообщении #1700912 писал(а):

Вот как определять эти участки, анализ которых достаточен для того, чтобы найти точки максимума и минимума, а также промежутки возрастания и убывания? Эта задача понятна, когда получается лишь одна серия корней. А когда получается несколько серий, то это вводит меня в тупик.

См. мой последний вопрос из предыдущего сообщения.
На любом промежутке длины $2\pi$ будет ровно один корень из серии с $+2\pi k$. На любом промежутке длины $4\pi$ будет ровно один корень из серии с $+4\pi k$. А сколько будет корней из серии с $+2\pi k$ на любом промежутке длины $4\pi$?

На промежутке длины $4\pi$ будет 2 корня из серии $c + 2 \pi \cdot k$. Получается, нужно для промежутка корней с наибольшей серией рассмотреть также все корни из серии, период которой меньше? То есть в данном случае нужно рассмотреть: $-4\pi/3; -\pi; \pi; 4\pi/3; 8\pi/3$?

[Mikhail_K]

Fractals в сообщении #1700915 писал(а):

Сейчас еще раз проверил, там написано именно $\pi+2\pi \cdot k$ - точка локального максимума.

В учебнике ошибка. Постройте график исходной функции $f$ на компьютере и убедитесь, что например $3\pi$ там точка минимума. Как у Вас изначально и получилось.

Fractals в сообщении #1700915 писал(а):

Получается, нужно для промежутка корней с наибольшей серией рассмотреть также все корни из серии, период которой меньше?

Тут важно не то, что $4\pi>2\pi$, а то, что $4\pi$ делится на $2\pi$. Вы же сами сказали, что на любом промежутке длины $4\pi$ есть два корня из серии $+2\pi k$. Два корня - это потому что $4\pi : 2\pi = 2$.

Fractals в сообщении #1700915 писал(а):

То есть в данном случае нужно рассмотреть: $-4\pi/3; -\pi; \pi; 4\pi/3; 8\pi/3$?

Может Вы и правы, но я не знаю, что Вы имеете в виду, когда говорите "нужно рассмотреть". Я бы сказал так. Вся числовая прямая разбивается на промежутки длины $4\pi$: это промежутки $\ldots,\,[-4\pi,0],\,[0,4\pi],\,[4\pi,8\pi],\,\ldots$ - то есть на промежутки вида $[4\pi k,4\pi(k+1)]$, где $k$ целое. Вот и напишите, какие корни будут на произвольном промежутке $[4\pi k,4\pi(k+1)]$. Если хотите, можете выписать корни на промежутке $[0,4\pi]$, а затем прибавить к ним произвольное $4\pi k$.

Почему рассматриваем именно отрезки длины $4\pi$? Потому что $4\pi$ делится на периоды каждой серии корней. Например, если бы были серии корней с $+4\pi k$ и c $+6\pi k$, надо было бы рассматривать промежуток длины $12\pi$ - на каждом таком промежутке было бы три корня из серии с $+4\pi k$ и два корня из серии с $+6\pi k$.

[Fractals]

Всё, понял. Спасибо Вам огромное за объяснение! Теперь я разобрался.

[wrest]

Mikhail_K в сообщении #1700918 писал(а):

Почему рассматриваем именно отрезки длины $4\pi$? Потому что $4\pi$ делится на периоды каждой серии корней.

Я бы сказал так: потому, что $4\pi$ -- это период (производной). Соответственно, исследовать периодическую функцию на одном периоде = исследовать её всю.
Т.е. когда ТС заявляет, что функция периодическая, я бы немедленно посоветовал бы ему подумать о
1. Что значит "периодическая".
2. Чему равен период.

[Fractals]

Подскажите, а как тогда записать экстремумы? Это надо записывать в качестве серии корней? Или как?

[Mikhail_K]

Fractals в сообщении #1700933 писал(а):

Подскажите, а как тогда записать экстремумы?

Вы скажите, какие у Вас получаются точки минимума и максимума. Конечно, их бесконечно много, так что их надо будет записать в виде серий с произвольным целым $k$.

[Fractals]

Mikhail_K в сообщении #1700934 писал(а):

Fractals в сообщении #1700933 писал(а):

Подскажите, а как тогда записать экстремумы?

Вы скажите, какие у Вас получаются точки минимума и максимума. Конечно, их бесконечно много, так что их надо будет записать в виде серий с произвольным целым $k$.

У меня получились следующие точки:
$x = \pi; x = 8\pi/3$ - точки максимума
$x = 4\pi/3; x = 3\pi$ - точки минимума
Не совсем понятно, как их серией записать. Ведь та же серия с корнем $x = \pi + 2\pi k$ не будет верным отображением серии точек максимума. Да и если другие корни посмотреть и поприбавлять и поотнимать $2\pi k$ или $4\pi k$, то там не всегда точки будут минимумами или максимумами.

[Mikhail_K]

Fractals в сообщении #1700935 писал(а):

Не совсем понятно, как их серией записать.

Давайте верно поставим вопрос. Важно не то, как их записать, а важно их правильно найти. Равно как и выше - не надо ставить вопрос "какие корни нужно рассмотреть" - все нужно рассмотреть, которые есть.

Fractals в сообщении #1700935 писал(а):

У меня получились следующие точки:
$x = \pi; x = 8\pi/3$ - точки максимума
$x = 4\pi/3; x = 3\pi$ - точки минимума

Это ведь не все точки минимума и максимума, а только точки из промежутка $[0,4\pi]$, верно? Но ведь

Mikhail_K в сообщении #1700918 писал(а):

Вся числовая прямая разбивается на промежутки длины $4\pi$: это промежутки $\ldots,\,[-4\pi,0],\,[0,4\pi],\,[4\pi,8\pi],\,\ldots$ - то есть на промежутки вида $[4\pi k,4\pi(k+1)]$, где $k$ целое. Вот и напишите, какие корни будут на произвольном промежутке $[4\pi k,4\pi(k+1)]$.

Как они получаются из тех точек, что лежат на промежутке $[0,4\pi]$?

Fractals в сообщении #1700935 писал(а):

Ведь та же серия с корнем $x = \pi + 2\pi k$ не будет верным отображением серии точек максимума.

Верно, не будет. Здесь главное не прибавлять-отнимать $2\pi k$ или что-то ещё, а понять, зачем это делается.

[Fractals]

В данном случае нужно прибавлять $4\pi$. Ясно, то есть это зависит от длины промежутка, который мы рассматриваем, так как потом всё будет повторяться. В общем случае для $[4\pi k; 4\pi(k+1)]: c + 4\pi k$. Всё, теперь вроде бы полностью разобрался. Еще раз спасибо!