Непрерывность отображения

[DanWalton]

Есть два определения:
Отображение непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз каждого открытого множества открыт. (1)
Отображение непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз каждого замкнутого множества замкнут. (2)
X и Y — топологические пространства. Множество X содержит открытое и (делаю правку) незамкнутое подмножество A, множество Y содержит открыто-замкнутое подмножество B. Зададим отображение f из X в Y при котором A отображается в B.
B это открытое множество, А тоже открытое множество, то есть прообраз открытого элемента открыт — на данном этапе проверки ещё не исключается непрерывность всего отображения f по определению (1).
Если учитывать, что B также замкнуто, то B это замкнутое множество, прообраз которого открыт, что исключает непрерывность всего отображения f по определению (2).
Как получилось расхождение по двум определениям ? Исключается ли непрерывность когда образ открытого множества это открыто-замкнутое множество?

[Anton_Peplov]

DanWalton в сообщении #1700200 писал(а):

Если учитывать, что B также замкнуто, то B это замкнутое множество, прообраз которого открыт, что исключает непрерывность всего отображения f по определению (2).

Непрерывный прообраз открыто-замкнутого множества, очевидно, открыт и замкнут.

[DanWalton]

Anton_Peplov
При непрерывном отображении да, но в моём (необязательно непрерывном) отображении у меня прообраз открыто-замкнутого B есть открытое и незамкнутое A. Тогда прообраз не непрерывен по (2) и непрерывен по (1)? Как тогда быть?

[Anton_Peplov]

Где Вы потребовали, чтобы $A$ не было замкнутым? В условии задачи говорится только, что оно открыто.

[DanWalton]

Anton_Peplov
Моя вина, не потребовал. Но имел в виду именно это: по условию А открыто и незамкнуто.

[Anton_Peplov]

Тогда функция не непрерывна ни по какому определению. Значит, есть хоть одно открытое множество с не открытым прообразом. Не обязательно одно из названных Вами.

[Combat Zone]

1)

DanWalton в сообщении #1700200 писал(а):

Зададим отображение f из X в Y при котором A отображается в B.

Так "в" или "на"? Если "в" - нет гарантии того, что B даже образ, если "на" - никто не обещал, что A - прообраз B. Уточните формулировку, пожалуйста.
2) и можно как-то более внятно изложить задачу, чтобы условие было отдельно, а ваши соображения отдельно? А то не очень понятно, что дано, и что требуется.

[Anton_Peplov]

DanWalton
Попробуйте привести пример на топологическом пространстве из малого числа открытых множеств. Найдите открытое множество с неоткрытым прообразом.

[DanWalton]

Anton_Peplov
А если тогда взять на Y антидискретную топологию и в качестве B взять само Y? То есть получится отображение открытого незамкнутого множества A из X в открыто-замкнутое множество Y. Значит такое отображение тоже не непрерывно? Но есть же свойство, что любое отображение в пространство с антидискретной топологией непрерывно.

-- 30.08.2025, 15:17 --

Combat Zone в сообщении #1700216 писал(а):

нет гарантии того, что B даже образ, если "на" - никто не обещал, что A - прообраз B. Уточните формулировку, пожалуйста.

Так есть по условию: отображение построено именно так, что B это образ А, и соответственно B это прообраз А.

Combat Zone в сообщении #1700216 писал(а):

и можно как-то более внятно изложить задачу, чтобы условие было отдельно, а ваши соображения отдельно? А то не очень понятно, что дано, и что требуется.

Давайте попробую кратко переформулировать вопрос.
Если есть отображение между двумя топологическими пространствами при котором прообразом хоть одного открыто-замкнутого множества является открытое незамкнутое множество, то можно ли говорить что всё отображение разрывно?

[Combat Zone]

DanWalton в сообщении #1700221 писал(а):

Если есть отображение между двумя топологическими пространствами при котором прообразом хоть одного открыто-замкнутого множества является открытое незамкнутое множество, то можно ли говорить что всё отображение разрывно?

Спасибо. Да, конечно. Ваше свойство (2) ломается. Непрерывности не будет.

DanWalton в сообщении #1700221 писал(а):

Так есть по условию: отображение построено именно так, что B это образ А, и соответственно B это прообраз А.

Этого вы как раз и не говорили, во-первых, что так по условию, а во-вторых B образ A это совсем не то же что А прообраз B.

[DanWalton]

Combat Zone в сообщении #1700225 писал(а):

B образ A это совсем не то же что А прообраз B.

Вы имеете в виду что если A отображается в B, то не всегда только А будет прообразом, а например A в объединении с чем-то ещё?

-- 30.08.2025, 15:53 --

И как быть с этим ?

DanWalton в сообщении #1700221 писал(а):

А если тогда взять на Y антидискретную топологию и в качестве B взять само Y? То есть получится отображение открытого незамкнутого множества A из X в открыто-замкнутое множество Y. Значит такое отображение тоже не непрерывно? Но есть же свойство, что любое отображение в пространство с антидискретной топологией непрерывно.

[Anton_Peplov]

DanWalton
Приведите точное определение прообраза, и все станет ясно.

[Combat Zone]

DanWalton
A может лежать в прообразе, но не совпадать с ним. Стандартный пример $f(x)=x^2$ из множества вещ. чисел в себя. $f([2,3])=[4,9]$.
Но не наоборот.

Путать образы и прообразы не надо. Иначе возникают вот такие вопросы.

DanWalton в сообщении #1700221 писал(а):

А если тогда взять на Y антидискретную топологию и в качестве B взять само Y? То есть получится отображение открытого незамкнутого множества A из X в открыто-замкнутое множество Y. Значит такое отображение тоже не непрерывно? Но есть же свойство, что любое отображение в пространство с антидискретной топологией непрерывно.

Это все от такой путаницы. А про то, что св-ва (1-2) выполняются для образов, никто не говорил, это неправда.

[DanWalton]

Anton_Peplov в сообщении #1700227 писал(а):

DanWalton
Приведите точное определение прообраза, и все станет ясно.

Прообраз элемента B из Y при отображении f:X→Y это множество всех элементов из X, отображаемых в B (то есть образом которых является B).

-- 30.08.2025, 16:36 --

А в приведенном мной примере с антидискретной топологией в качестве образа А у меня Y, в качестве прообраза этого Y только открытое незамкнутое множество A из X. Тогда ещё добавлю что все остальные элементы из X (не являющиеся А) отображаются в подмножества Y, не совпадающие с самим Y. Что не так, разве отображение будет непрерывным?

[Combat Zone]

DanWalton в сообщении #1700232 писал(а):

А в приведенном мной примере с антидискретной топологией в качестве образа А у меня Y, в качестве прообраза этого Y только открытое незамкнутое множество A из X. Тогда ещё добавлю что все остальные элементы из X (не являющиеся А) отображаются в подмножества Y, не совпадающие с самим Y.

Тогда это отображение не из $X\to Y$. Напишите еще определение отображения, будет понятно, почему.

-- 30.08.2025, 16:02 --

DanWalton в сообщении #1700232 писал(а):

остальные элементы из X (не являющиеся А) отображаются в подмножества Y, не совпадающие с самим Y.

И вообще, это как? Что значит отображаются в подмножества? Кто на ком стоял?