Вопросы по учебнику Aluffi Algebra Chapter 0

[Without Name]

Я начал изучать алгебру по учебнику Aluffi. В начале даются простые понятия для введения в теорию категорий, но мне пока трудно с этим всем разбираться. Помогите, пожалуйста, разобраться.



Тут говорится, что мономорфизм это обобщение инъекции. Для чего в определении мономорфизма введены дополнительыне множества $Z$ и отображения $\alpha: Z \to A$? Интуитивно не понятно, для чего так придумали.

Ниже по тексту дается задание догадаться, каким будет определение эпиморфизма (обобщение сюрьекции) и написать доказательство того, что функция сюрьективна тогда и только тогда, когда она эпиморфизм. Как можно доказать это утверждение?

-- 17.08.2025, 17:16 --

Попробую предположить, что определение эпиморфизма будет такое: функция $f: A \to B$ называется эпиморфизмом, если выполняется следующее: для всех множеств $Z$ и всех функций $\alpha', \alpha'': B \to Z$ верно равенство $\alpha' \circ f = \alpha'' \circ f \Longleftrightarrow \alpha' = \alpha''$

[пианист]

Without Name в сообщении #1698529 писал(а):

Для чего в определении мономорфизма введены дополнительыне множества $Z$ и отображения $\alpha: Z \to A$? Интуитивно не понятно, для чего так придумали

В случае общих морфизмов нет же точек, так что - а как еще?
А на примере отображений понятно: если две точки отображаются в одну, то то, что в эти точки отображается слева, различаться не будет.

[maxmatem]

Without Name

https://imgfoto.host/i/4Ix8Js

Мне кажется так нагляднее будет.
Не в категориях эпиморфизм это сюрьективный гомоморфизм

Цитата:

Попробую предположить, что определение эпиморфизма будет такое: функция $f: A \to B$ называется эпиморфизмом, если выполняется следующее: для всех множеств $Z$ и всех функций $\alpha', \alpha'': B \to Z$ верно равенство $\alpha' \circ f = \alpha'' \circ f \Longleftrightarrow \alpha' = \alpha''$

Исходя из книги , по мне верно Вы сформулировали определение

[Without Name]

пианист в сообщении #1698532 писал(а):

Without Name в сообщении #1698529 писал(а):

Для чего в определении мономорфизма введены дополнительыне множества $Z$ и отображения $\alpha: Z \to A$? Интуитивно не понятно, для чего так придумали

В случае общих морфизмов нет же точек, так что - а как еще?
А на примере отображений понятно: если две точки отображаются в одну, то то, что в эти точки отображается слева, различаться не будет.

Слева это в цепочке $Z \to A \to B$?
А где там две точки отображаются в одну? Инъекция же отображает разные точки в разные.

[пианист]

Ну вот возможность сократить слева как раз и обеспечивает нам, чтобы две точки в одну не отображались. При этом к отдельным точкам мы не обращаемся, что позволяет перенести данное свойство и на случай общих морфизмов, которые не являются отображениями.

[dgwuqtj]

Without Name в сообщении #1698529 писал(а):

Для чего в определении мономорфизма введены дополнительыне множества $Z$ и отображения $\alpha: Z \to A$? Интуитивно не понятно, для чего так придумали.

Если продвинуться чуть дальше, то это можно понять через вложение Йонеды. В произвольной категории нет точек у объекта $A$, но зато есть "обобщённые точки" в виде стрелок $Z \to A$. Для каждого фиксированного $Z$ они ведут себя как обычные точки. Ну и вместо инъективности требуется, чтобы индуцированное отображение $\mathrm{Hom}(Z, A) \to \mathrm{Hom}(Z, B),\, \alpha \mapsto f \circ \alpha$ было инъективным для каждого $Z$.

maxmatem в сообщении #1698535 писал(а):

Не в категориях эпиморфизм это сюрьективный гомоморфизм

Это так в категориях модулей над кольцами, множеств, и групп, но не в общем случае. Скажем, $\mathbb Z \to \mathbb Q$ будет эпиморфизмом в категории коммутативных колец с единицей.

[maxmatem]

dgwuqtjКонечно , спасибо . Я имел в виду не в общем случаи ( надо мне более точно выражаться , прошу прощения)

[dgwuqtj]

maxmatem
А я вас так понял, что вне теории категорий этот термин так употребляют. Просто решил добавить комментарий, почему иногда разница всё-таки есть.