Равномерная непрерывность корня

[Dedekind]

Задача. Доказать, что $f(x) = \sqrt{x}$ равномерно непрерывна на $[0,+\infty)$.

Я изначально решал так (и в учебнике такой же способ). Разобьем $[0,+\infty)$ на $[0,1]$ и $[1,+\infty)$. На первом промежутке функция равномерно непрерывна, потому что он компактный. На втором, для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta = \varepsilon/2$, такая, что для любых $x, y\in [1,+\infty)$, если $|x-y|<\delta $, то $|\sqrt{x} - \sqrt{y}| = \dfrac{|x-y|}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}<\dfrac{\delta}{2} = \varepsilon$.
Объединяя результаты, получаем равномерную непрерывность на исходном промежутке.

Но потом нашел способ, кажется, гораздо проще. По крайней мере, не нужна теорема о равномерной непрерывности на компактном множестве, и не придется возиться с объединением. Для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta = \varepsilon^2$, такая, что для любых $x, y\in [0,+\infty)$, если $|x-y|<\delta $, то

$$|\sqrt{x} - \sqrt{y}|= \sqrt{|\sqrt{x} - \sqrt{y}|^2} = \sqrt{|\sqrt{x} - \sqrt{y}||\sqrt{x} - \sqrt{y}|} \le \sqrt{|\sqrt{x} - \sqrt{y}||\sqrt{x} + \sqrt{y}|} = \sqrt{|x - y|^2} < \sqrt{\delta} = \varepsilon$$

Все ли тут правильно? Если да, то странно, что его мало где приводят. В основном, везде решают первым способом.

[Gagarin1968]

Dedekind
Интересно, что эту задачу уже обсуждали здесь не далее как 7,5 лет назад. Задача 1.

[RIP]

В подобных задачах вместо $\lvert f(x)-f(y)\rvert$ бывает удобнее рассматривать $\lvert f(x+h)-f(x)\rvert$, где $h$ мало, причём можно считать $h>0$. Например, в этой задаче:

$$\sqrt{x+h}-\sqrt{x}=\frac{h}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\leqslant\sqrt{h}.$$

Почему первое док-во популярно? Думаю, потому что это первое, что приходит на ум. Оно может показаться длинным и излишне сложным, но на самом деле все шаги в нём достаточно очевидны.

[Dedekind]

Gagarin1968 в сообщении #1698497 писал(а):

эту задачу уже обсуждали здесь
не далее как 7,5 лет назад. Задача 1.

Ага, спасибо. Первое решение там такое же как и у меня, второе - похожее.

RIP в сообщении #1698507 писал(а):

В подобных задачах вместо $\lvert f(x)-f(y)\rvert$ бывает удобнее рассматривать $\lvert f(x+h)-f(x)\rvert$, где $h$ мало, причём можно считать $h>0$. Например, в этой задаче:

$$\sqrt{x+h}-\sqrt{x}=\frac{h}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\leqslant\sqrt{h}.$$

Хороший вариант, спасибо. Только один момент непонятен. По сути, тут $h$ - это расстояние между $x$ и $y$. Почему мы можем считать его малым, если оно может быть любым? Да и вообще, вроде выглядит так, что малость $h$ и не используется нигде.

[RIP]

Dedekind в сообщении #1698510 писал(а):

По сути, тут $h$ - это расстояние между $x$ и $y$. Почему мы можем считать его малым, если оно может быть любым? Да и вообще, вроде выглядит так, что малость $h$ и не используется нигде.

Малость нужно понимать неформально. Смысл равномерной непрерывности в том, что если точки «близки» (т.е. $h$ «мало»), то и значения функции тоже «близки». Здесь доказательство работает для любого $h$, но, теоретически, возможна ситуация, что нужно ограничить $h$ сверху. Поскольку $h<\delta$, а $\delta$ — в наших руках, то можно считать $h$ малым.

[Dedekind]

RIP
Понятно, спасибо.