Рациональности на (r^2+1)*j0^2*(m^2-1) = (r^2-1)*(m^2+1)

[Volik]

Здравствуйте. Существуют ли значения $j_0 $ ($j_0 \ne 0, j_0^2 \ne 1$), при которых уравнение
$j_0^2 (r^2+1) (m^2-1) = (r^2-1) (m^2+1)$ разрешимо в рациональных $m,r$, исключая
$m^2=1, r^2=1$. Эти частные случаи я рассмотрел.
Полагаю, таких нет, но не могу ни доказать ни опровергнуть. GPT5 с пятой попытки вроде это доказал, используя дробно линейное представление $j_0=\frac{a m+b}{c m+d}$. Меня он не убедил.
Может естественный интелект поможет разобраться?

[Shadow]

$r=\dfrac{23}{7},m=2$ GPT5 не пробовал?

Условие равносильно $(r^4-1)(m^4-1)=\square$

Достаточно $x^4-1=ty^2$ для подходящего $t$. И удвоит точку не кривой. (я взял $t=15,x=2,y=1$).

-- 16.08.2025, 20:55 --

И вообще

$r=\dfrac{m^4 + 2 m^2 - 1}{m^4 - 2 m^2 - 1}$

работает для любого $m$

[Volik]

Огромное спасибо! Думаю, это исчерпывающий ответ. ИИ далеко до ЕИ!

-- 16.08.2025, 21:50 --

Если бы еще доказать что других, кроме Вашего, выражений r через m нет! Такое же выражение m через r не считаеv.

[Shadow]

Volik в сообщении #1698478 писал(а):

Если бы еще доказать что других, кроме Вашего, выражений r через m нет!

Есть, причем бесконечно много (и жутко громоздкие) - рац. точки на эллиптической кривой. Следующая

$r= \dfrac{m(m^8+6 m^4-3)}{3 m^8-6 m^4-1}$

для $m=2$ будет $r=\dfrac{698}{671}$ и т.д. бесконечно много $r$ для фиксиранного $m$

[Volik]

Спасибо, но огорчили. Для моей исходной задачи нужно было получить все рациональные решения приведенного уравнения.
Например, как у Вас, для произвольного m. Пытаясь уйти от эллиптической кривой, рассматриваю Ваше представление исходного уравнения как гиперболу на плоскости $r^2, j_1$. Там, кроме Ваших рациональных точек при
$r=\pm \frac{m^4+2 m^2-1}{m^4-2 m^2-1}$, есть еще при $r=\pm 1, r=\pm m$.
Авось удастся все найти?

-- 17.08.2025, 14:50 --

Грок меня обнадежил относительно эллиптических кривых. Оказывается что существуют семейсва таких однопараметрических кривых, с постоянным рангом для всех кривых семейсва! Если бы у кривых $(r, j_1)$ в Вашем представлении это было справедливо для произвольных допустимых m, и ранг был 1, это решило бы мою задачу.
Но мне врядли по силам провести такой анализ!