Что есть ординал ω^ω?

[petrovsky]

$\omega^2$ - это множество пар $(x_1, x_2)$ натуральных чисел с лексиокрафическим порядком.
$\omega^3$ - это множество троек $(x_1, x_2, x_3)$ натуральных чисел с лексиокрафическим порядком.
А что такое $\omega^\omega$? Правильно понимаю, что это множество бесконечных последовательностей натуральных чисел $(x_1, x_2, \dots)$ с лексикографическим порядком?

[mihaild]

Множество бесконечных последовательностей, в которых конечное число ненулевых элементов.

[petrovsky]

mihaild в сообщении #1698170 писал(а):

Множество бесконечных последовательностей, в которых конечное число ненулевых элементов.

В теории множеств $X^Y$ определяется как множество отображений из $Y$ в $X$. Как определяется возведение в степень для ординалов?

[mihaild]

А по какому источнику Вы это изучаете? Должно быть написано где угодно. $\alpha^{\beta + 1} = \alpha^\beta \cdot \alpha$, и для предельных $\beta$, $\alpha^\beta = \bigcup\limits_{\gamma < \beta} \alpha^\gamma$.

[petrovsky]

mihaild в сообщении #1698173 писал(а):

А по какому источнику Вы это изучаете? Должно быть написано где угодно. $\alpha^{\beta + 1} = \alpha^\beta \cdot \alpha$, и для предельных $\beta$, $\alpha^\beta = \bigcup\limits_{\gamma < \beta} \alpha^\gamma$.

Имел в виду просто множества, не ординалы. Верещагин, Шень (скрин)

Тогда какому ординалу равно множество бесконечных последовательностей натуральных чисел $(x_1, x_2, \dots)$ с лексикографическим порядком?
И какой первый ординал имеет мощность континуума?

[vpb]

petrovsky в сообщении #1698175 писал(а):

Тогда какому ординалу равно множество бесконечных последовательностей натуральных чисел $(x_1, x_2, \dots)$ с лексикографическим порядком?

А является ли это множество вполне упорядоченным (риторический вопрос) ?

[mihaild]

petrovsky в сообщении #1698175 писал(а):

Имел в виду просто множества, не ординалы. Верещагин, Шень

У них там и определение возведения в степень есть, страница 91 (в издании 2012 года). Да, возведение в степень ординалов определяется иначе, чем для множеств.

petrovsky в сообщении #1698175 писал(а):

Тогда какому ординалу равно множество бесконечных последовательностей натуральных чисел $(x_1, x_2, \dots)$ с лексикографическим порядком?

Никакому. Какой минимальный элемент в множестве последовательностей вида $(0, 0, \ldots, 0, 1, 1, \ldots)$ (конечное число нулей, потом единицы)?

petrovsky в сообщении #1698175 писал(а):

И какой первый ординал имеет мощность континуума?

$\beth_1$. Который определяется, как наименьший ординал мощностью континуум :)

mihaild в сообщении #1698170 писал(а):

Множество бесконечных последовательностей, в которых конечное число ненулевых элементов

Да, пардон, тут не написал - с обратным лексикографическим (т.е. сравниваем самые правые различающиеся элементы).