Задачи из учебника Лузина

[maxmatem]

Without Name

Цитата:

Вроде, догадался. По правилу пропорции: $2a^2 y \frac{dy}{dx} = 2b^2 x$

Верно

-- Вт авг 12, 2025 18:51:55 --

Without Name

(Оффтоп)

Просмотрел я учебник по которому Вы задаёте вопросы . Как по мне не лучший вариант для первичного обучения …. Я не хочу громко говорить, что он старомоден , но все же . Ну есть же прекрасные учебники и задачники уже проверенные тысячами математиками . Или учебник Лузина , Вам чем то пришёлся по душе ? Стилю ?

[Without Name]

maxmatem в сообщении #1697511 писал(а):

Without Name

Цитата:

Вроде, догадался. По правилу пропорции: $2a^2 y \frac{dy}{dx} = 2b^2 x$

Верно

-- Вт авг 12, 2025 18:51:55 --

Without Name

(Оффтоп)

Просмотрел я учебник по которому Вы задаёте вопросы . Как по мне не лучший вариант для первичного обучения …. Я не хочу громко говорить, что он старомоден , но все же . Ну есть же прекрасные учебники и задачники уже проверенные тысячами математиками . Или учебник Лузина , Вам чем то пришёлся по душе ? Стилю ?

В этом учебнике материал очень подробно объясняется, прям до мелочей. И сразу же есть задачи. Пробовал Зорича почитать, но как-то тяжело пошло. А какой учебник вы бы посоветовали?
Я хочу через математический анализ подойти к дифференциальным уравнениям. Они интересные. А где можно применить диффуры, учитывая то, что я работаю программистом? Может быть сразу какую-то большую задачу себе придумать и постепенно ее решать?

Мне учебник нужен просто чтобы вспомнить университетский курс анализа, мы там дошли до тройных интегралов и комплексного анализа, но все уже забылось.

[Dedekind]

Without Name
Если Вы программист, то наверняка как минимум читаете по английски. Если так, то я бы советовал Stewart "Calculus" (для начала) и Abbott "Understanding Analysis" (для продолжения). А возможно, для прикладных приложений хватит только и первого. В любом случае, они куда лучше Зорича по понятности и подробности изложения, но при этом не морально устаревшие, как Лузин или Фихтенгольц. А в Stewart "Calculus" как раз еще и куча прикладных примеров и задачек на диффуры. Условно-прикладных, конечно, больше учебных, но все же.

Without Name в сообщении #1698085 писал(а):

Может быть сразу какую-то большую задачу себе придумать и постепенно ее решать?

Это всегда лучший подход.

[maxmatem]

Without Name

Цитата:

Пробовал Зорича почитать, но как-то тяжело пошло. А какой учебник вы бы посоветовали?

Вам уже посоветовал уважаемый Dedekind.
Мои советы были в рамках классики , Зорич, новый учебник Прасолова….
Но они Вам не нужны , в рамках ваших потребностей .
Опять таки , что вам нужно от диффуров? Если только методы решения это одно , если ковыряться в теории с доказательствами то другое . Но учебник Арнольда обыкновенные дифиринциальные уравнения я бы при первом чтении не рекомендовал

-- Чт авг 14, 2025 20:36:39 --

DedekindИнтересная книга ( 1-я в вашем списке рекомендаций)
Мельком глянул , симпатично там изложено .

[Without Name]

У Лузина задачи мне нравятся, они там интересные.
Скачал себе книгу Calculus: Early Transcendentals и читаю ее параллельно. У Лузина доказательства мне нравятся. Было интересно узнать, что сумма бесконечного числа бесконечно малых может равняться конечному числу и на этом основано интегральное исчисление.

В качестве большой задачи я хочу в итоге смоделировать на C++ задачу двух и более тел. Мне очень нравится, как в статье на хабре смоделировали столкновение двух галактик с миллионами звезд при помощи численных методов. Что можно почитать для моделирования этой задачи?

-- 15.08.2025, 14:31 --

Задача 5

Показать, что параболы $y^2 = 2p(x + \frac{p}{2})$ и $y^2 = 2p(\frac{p}{2} - x)$ пересекаются под прямым углом.

Как я понимаю, угол между кривыми это угол между касательными к этим кривым в точке пересечения кривых. Как пошагово решить эту задачу? Найти точку пересечения кривых, найти касательные в этой точке? А что дальше? Как найти угол между касательными?

-- 15.08.2025, 14:38 --

Дополнение. Нейросетка мне подсказала, что для определения ортогональности касательных достаточно проверить, что произведение угловых коэффициентов равно -1.

[Dedekind]

Without Name в сообщении #1698252 писал(а):

В качестве большой задачи я хочу в итоге смоделировать на C++ задачу двух и более тел. Мне очень нравится, как в статье на хабре смоделировали столкновение двух галактик с миллионами звезд при помощи численных методов. Что можно почитать для моделирования этой задачи?

Я бы советовал Фейнмановские лекции по физике, выпуск 1, глава 9, параграф 6 (но лучше и предыдущие параграфы из этой главы). Там как раз пошагово рассматривается процесс численного решения дифференциальных уравнений. Штука в том, что для понимания всего этого Вам предварительно даже не нужно знать, что такое дифференциальные уравнения. Достаточно понятия производной и второго закона Ньютона. Наоборот, разобравшись в алгоритме и собственноручно переведя описание в код, Вы гораздо лучше прочувствуете, что такое диффуры в дальнейшем изучении по учебнику матанализа.
Конечно, он использует только самый просто метод Эйлера для численного решения, и только в конце переходит, если я не ошибаюсь, к Рунге-Кутта, но, разумеется, без вывода. Поэтому, если захотите закопаться чуть поглубже - то тут уж нужно будет почитать какие-то учебники по численным методам.

Если же речь про код, то на Ютубе и Гитхабе наверняка сотни, если не тысячи подобных проектов. Просто открываете и любой и изучаете:)

-- 15.08.2025, 13:49 --

Кстати, у меня, по-моему, осталась где-то методичка с моего давнего курса. Я по ней кодил симуляцию Солнечной системы. Если хотите - могу поискать и выслать в ЛС.

-- 15.08.2025, 13:50 --

maxmatem в сообщении #1698128 писал(а):

DedekindИнтересная книга ( 1-я в вашем списке рекомендаций)
Мельком глянул , симпатично там изложено .

Да, мне тоже нравится. Многие, кстати, критикуют ее за излишнюю подробность. Но по мне так для самостоятельного изучения это просто отлично.

-- 15.08.2025, 13:52 --

Without Name в сообщении #1698252 писал(а):

Нейросетка мне подсказала, что для определения ортогональности касательных достаточно проверить, что произведение угловых коэффициентов равно -1.

Так и есть. Это из аналитической геометрии, если вдруг захотите посмотреть без нейросетки. По-моему, выводится даже в школьных учебниках, но не уверен.

[Without Name]

Решение задачи 5

а) Найдем точки пересечения кривых
$2p(x + \frac{p}{2}) = 2p(\frac{p}{2} - x)$
$2px = -2px, x = 0$
Подставим $x=0$ в уравнение:
$y^2 = 2p(0+\frac{p}{2})$
$y =\pm\sqrt{2p + \frac{p}{2}}$

б) Найдем производную первой функции:
$y^2 = 2px + \frac{p}{2}$
$2yy' = 2p$
$y' = \frac{p}{y}$

в) Найдем производную второй функции:
$y^2 = p^2 - 2px$
$2yy' = -2p$
$y' = -\frac{p}{y}$

Как дальше решать задачу?

-- 15.08.2025, 14:54 --

Dedekind в сообщении #1698260 писал(а):

Кстати, у меня, по-моему, осталась где-то методичка с моего давнего курса. Я по ней кодил симуляцию Солнечной системы. Если хотите - могу поискать и выслать в ЛС.

Вышлите в личку, пожалуйста.

[lel0lel]

Without Name в сообщении #1698261 писал(а):

$y^2 = 2p(0+\frac{p}{2})$
$y =\pm\sqrt{2p + \frac{p}{2}}$

Енто как?

Without Name в сообщении #1698261 писал(а):

Найдем производную первой функции:
$y^2 = 2px + \frac{p}{2}$
$2yy' = 2p$
$y' = \frac{p}{y}$

Удобнее рассматривать уравнения парабол, как функции $x(y)$.

[Without Name]

Точно, я ошибся. Точки пересечения: $x=0, y=\pm p$

[Combat Zone]

lel0lel в сообщении #1698265 писал(а):

Удобнее рассматривать уравнения парабол, как функции $x(y)$.

Имхо, тут это не удобнее.
Without Name
Ну и берите, к примеру, точку $A(0,p)$ в качестве точки пересечения.
Тогда производная $y_1'(0)=p/y = p/p =1$
Производная $y_2'(0)=-p/y= -1$
Выводы и вторая точка - ваши.

[Without Name]

Спасибо, разобрался.

[lel0lel]

(Оффтоп)

Combat Zone в сообщении #1698273 писал(а):

Имхо, тут это не удобнее.

Исключительно из методологии, если теорема о неявной функции ещё не знакома. Иначе, у решающего могут возникать вопросы о том, как это "наша функция" принимает разные значения при $x=0$. Понимание, конечно, как правило есть, но как правильно говорить и оформлять ещё не умеют.

[Combat Zone]

(Оффтоп)

lel0lel
Просто ТС уже решал выше, де-факто, пользуясь производной неявной функции. Почти вся тема такая. А если вопросы - так это ж наоборот, хорошо. Хуже, когда их нет, а должны быть.

[Without Name]

Да, это все задачи по теме производной неявной функции.

[Without Name]

У меня еще вопрос по задаче 5. Почему там уравнения парабол со скобками? Почему скобки не раскрыли? В этом есть какой-то смысл? Может это какой-нибудь канонический вид уравнения параболы из аналитической геометрии?