Вариация задачи с поездами и мухой

[mimokrokodil]

По работе возникли пара задачек, помогите разобраться, пожалуйста. Только сразу предупреждаю: я не физик-математик и даже не студент физики-математики, поэтому сильно не пытайте . В этой теме выкладывают одну из них.
Есть цилиндр высоты $h_0$. На дне лежит шарик радиуса $r$. В начальный момент времени происходит две вещи.
1. Поршень начинает вдвигаться в цилиндр с постоянной скоростью $v_p$.
2. Шарик стартует со дна вертикально вверх с начальной скоростью $v_0$ (предполагаем, что скорость достаточная для того, чтобы шарик поднялся на исходную высоту цилиндра).
На шарик действует гравитация с ускорением свободного падения $g$. Все столкновения абсолютно упругие. Вопрос: сколько соударений шарика с поршнем произойдет до того момента, когда поршень придавит шарик (то есть, поршень пройдет расстояние $h_0-r$)?

Я решал итеративно, с помощью таблички в экселе. Время первой встречи шарика и поршня нашел решая квадратное уравнение из условия: $h_0 - 2r - v_pt = v_0t - \dfrac{gt^2}{2}$ (см. рисунок). Обозначим это время за $t_1^{up}$ Затем, после удара, шарик за то же время упадет обратно. Обозначим общее время вверх-вниз $t_1 = 2t_1^{up}$. В результате, через это время придем к начальной ситуации, когда шарик лежит внизу и начинает двигаться вверх, только теперь поршень находится не на высоте $h_0$, а на высоте $h_1 = h_0 - v_pt_1$. Подставляя $h_1$ вместо $h_0$ в уравнение, находим момент времени $t_2^{up}$, и так далее.



Вопрос к знатокам следующий: можно ли как-то получить решение в замкнутом виде, чтобы не пересчитывать каждый раз кучу ячеек?

[sergey zhukov]

mimokrokodil в сообщении #1697931 писал(а):

шарик за то же время упадет обратно

Нет, он упадет быстрее. Скорость отскока шарика от опускающегося поршня будет выше, чем скорость удара о него. Вспомните, за счет чего нагревается сжимаемый поршнем газ.

Количество ударов в сумме будет бесконечно.

[mimokrokodil]

sergey zhukov в сообщении #1697993 писал(а):

Скорость отскока шарика от опускающегося поршня будет выше, чем скорость удара о него.

А, да, прошу прощения, забыл сказать. Тут немного нефизичный момент. По условию, скорость отскока от поршня точно такая же, как и скорость налета.

sergey zhukov в сообщении #1697993 писал(а):

Количество ударов в сумме будет бесконечно.

Тогда ограничим время временем прохождения поршнем расстояния $h_0-r - \epsilon$ для некоторого малого $\epsilon > 0$.

[sergey zhukov]

mimokrokodil
Можно получить верхнюю оценку числа ударов, если "выключить" гравитацию. Тогда получится геометрическая прогрессия, причем число ударов без гравитации гарантированно будет больше, чем с ней.

[mimokrokodil]

sergey zhukov в сообщении #1698027 писал(а):

Можно получить верхнюю оценку числа ударов, если "выключить" гравитацию.

Это можно, наверное. Но все-таки это не то, что хотелось бы. Дальше хотелось бы исследовать зависимость количества ударов от величины $g$. А по верхней границе этого сделать не получится.

[mimokrokodil]

Обычно я так не делаю, но на фоне недавних спамерских атак тема могла затеряться. Поэтому, пожалуй, апну ее. Если что, прошу прощения, это единственный раз. Больше так делать не буду.