Расстояние между точками

[EXE]

Где на поверхности проходит самый короткий путь между концами диагонали?

$$\left\ x_1^4+x_2^4+x_3^4-1=0 \right.$$

[Утундрий]

Считать надо. Ответ этого хотя бы стоит?

[Geen]

А чем не устраивает куб?

[EXE]

На кубике все хорошие пути плоские, и выбор очевиден, а здесь не все плоские.

[Утундрий]

EXE
Добавьте для приличия координаты обеих точек.

[EXE]

Точки на рисунке:
(-0.759835685700,-0.759835685700,0.759835685700) зелёная,
(0.759835685700, 0.759835685700, -0.759835685700) красная.

[Утундрий]

Вы, конечно, хотели сказать $\left(-3^{-1/4},-3^{-1/4},3^{-1/4}\right)$ и $\left(3^{-1/4},3^{-1/4},-3^{-1/4}\right)$.

[Dendr]

Вот хотелось провести аналогию с кубом, но что-то не заладилось. На скорую руку - возьмем путь между центрами противолежащих "граней", ну например $\left(1, 0, 0\right)$ и $\left(-1, 0, 0\right)$. Если провести путь как в кубе - перпендикулярно "ребрам" и через еще один центр "грани", то путь равен полупериметру фигуры $x^4+y^4=1$ - поскольку это сечение плоскостью $z=0$. Вольфрам говорит, что это (с точностью до сотых) $3.51$.

Но если провести "по диагонали" - к "вершинам", а затем вдоль "ребра", то это сечение плоскостью $y=z$, тогда надо считать полупериметр $x^2+2y^2=1$, который, согласно тому же Вольфраму, равен $3.23$ - то есть короче!

Так что аналогия с кубом плохая...

Вышеупомянутый путь может послужить (вопрос - хорошей ли) отправной точкой для поиска пути между противолежащими "вершинами". Но дальше мысль не пошла еще. Уже ясно, что искомый путь будет не длиннее. Если минимум равен $\pi$, было бы красиво...

[diletto]

EXE
Это пролегомены к задаче, при каком чётном $n$ тело
$ x_1^n+x_2^n+x_3^n-1=0 $
становится ближе к кубику, чем к шарику, по критерию, пролегает ли кратчайший путь через "вершину" или через "ребро"?

(Оффтоп)

Когда я был школьником-ферматистом, то пребывал в убеждении, что ключ к доказательству - в рассмотрении "околоквадратных" графиков $x^n+y^n=1$

[Утундрий]

Стандартный путь: ввести параметризацию поверхности, посчитать метрику, составить и решить уравнения геодезических.

[EXE]

Dendr в сообщении #1697044 писал(а):

Уже ясно, что искомый путь будет не длиннее.

Будет длиннее. 3,23 совсем мало, а 3,51 ближе будет. Надо где-то 3,726.

diletto в сообщении #1697054 писал(а):

Это пролегомены к задаче, при каком чётном $n$ тело

Честно, я о таком не слышал.

Утундрий в сообщении #1697066 писал(а):

ввести параметризацию поверхности

Не на каждом кубике такое возможно. Но на этом кубике народ делает. А вот,например, на этом не сделает.

$$\left\ (x_1-\sin(x_1))^2+(x_2-\sin(x_2))^2+(x_3-\sin(x_3))^2-0.02513144866=0 \right.$$

[Утундрий]

EXE в сообщении #1697071 писал(а):

А вот,например, на этом не сделает.

А как "вот например эта" задача связана с предыдущей?

[EXE]

Тоже "кубик", размер почти такой же, но вид много лучше. Поэтому, думаю, связать можно.

[Утундрий]

EXE
Есть некая функция. Опишите её свойства.

[Dendr]

EXE в сообщении #1697071 писал(а):

Будет длиннее. 3,23 совсем мало,

Ох. Надо ж было повернуть. Куда спешил, спрашивается...

Тогда нужен полупериметр $0.5x^4+y^4=1$, и равен он $3.84$. В общем случае надо рассматривать кривую $x^4(\cos{\varphi}^4+\sin{\varphi}^4)+y^4=1$, и минимум ее периметра случается (как раз) при $\varphi=0$.
Так что путь между центрами "граней" совпадает со случаем нормального (назовем его "еквлидовским") куба. Тогда можно ожидать, что и для исходного условия задачи искомый путь будет проходить схожим образом - через одну из прилежащих к "вершине" "граней" до середины "ребра". Длина этого пути, как уже ясно, должна быть меньше (напишу явно и добавлю еще цифр из Вольфрама)

$$2\int\limits_{0}^{\sqrt[4]{2}}\sqrt{1+\left(\frac{d}{dx}\sqrt[4]{1-\frac{x^4}{2}}\right)^2}dx=3.84371...$$

.

Накидать "на коленке" сечение заданной поверхности соотвествующей плоскостью (даже в предположении, что она обязательно проходит через начало координат) сходу не вышло.