Позиционные системы счисления и азы теории информации

[diletto]

Возможно, дурацкий детский вопрос...

Когда-то числа записывали рядом палочек (то, что в вики называется "единичной системой счисления": 10 овец - 10 палочек). Такая запись уже была результатом не менее чем двух шагов абстракции/компактификации: во-первых, реальная овца заменяется её изображением, во-вторых, изображение редуцируется до палочки. Оба шага "информационно не бесплатны": первый требует способности распознать овцу в символе, второй - фиксации (в голове или на той же дощечке) того факта, что данный ряд палочек - это овцы, а не горшки.

Дальнейшее совершенствование количественной записи - изобретение более продвинутых систем, чем единичная - тоже не бесплатно: пользователи должны знать цифры и правила записи.

Что меня всегда удивляло, так это эффективность цифровых систем. В позиционной системе длина записи числа - это логарифм по основанию системы от длины записи "палочками". В частности, двоичная система вводит всего два символа, но и она чудовищно эффективно сокращает запись. Как устроен механизм этого сокращения? Это не что иное, как двоичный поиск, он сродни читерству в "данетках": вместо угадывания задуманного слова как целого используется побуквенный (позиционный, разрядный) перебор.

Собственно мой наивный вопрос: чем мы за это платим? Что позволяет нам логарифмически (или экспоненциально? Не знаю, как сказать правильнее) сократить запись? Ведь мы всего-навсего ввели дополнительный символ - и получили такой гигантский скачок! В то время как сократить запись ещё сильнее (оставаясь в рамках того же алфавита, т.е. двоичной системы) - в общем случае невозможно, о чём убедительно рассказывают уважаемые участники в теме о порядке, хаосе и колмогоровской сложности.

То есть мне мерещится в этом скачке от единичной системы к позиционным некая гигантская, фундаментальная халява, предоставленная непонятно чем практически бесплатно. Как будто бы мироздание отступило здесь от законов сохранения... Может быть, это на самом деле не так? Может быть, здесь есть скрытая плата, которую мы не замечаем в силу привычки?

(Ну и просто попутное замечание в скобках: тот факт, что любое натуральное число естественным образом через свою n-разрядную двоичную запись сопоставляется вершине n-мерного единичного куба, кажется мне достойным темы "что меня поразило в математике". Наверное, это так же наивно, как и мой вопрос...)

[wrest]

diletto в сообщении #1696351 писал(а):

Может быть, здесь есть скрытая плата, которую мы не замечаем в силу привычки?

Плата -- вычислительная сложность и низкая надёжность (записи). Если из ста палочек потеряется одна или окажется на одну больше -- ну ошибка будет один процент. Если пять - то пять процентов. А в позиционных системах надо придумывать избыточность, что дополнительно увеличивает плату (за проверку).

[rockclimber]

diletto в сообщении #1696351 писал(а):

Может быть, здесь есть скрытая плата, которую мы не замечаем в силу привычки?

Размер мозга, например (и, как следствие, его энергопотребление, проблемы при родах, долгое детство, вот это вот всё - биологическое и социальное).

[wrest]

rockclimber в сообщении #1696354 писал(а):

Размер мозга, например (и, как следствие, его энергопотребление, проблемы при родах,

Ну проблемы при родах не имеют фундаментальной причины. Просто "так исторически сложилось".
Вот скажем у слонов или китов вроде же нет проблем при родах из-за непомерно выросшего в размерах мозга. А меж тем мозгов-то у них поболе нашего будет, по размерам

[rockclimber]

wrest в сообщении #1696355 писал(а):

Ну проблемы при родах не имеют фундаментальной причины. Просто "так исторически сложилось".

И тем не менее, другой возможности пользоваться позиционной системой счисления не появилось - только через боль и страдания. Вот как появится, тогда и обсудим...

[wrest]

rockclimber в сообщении #1696357 писал(а):

И тем не менее, другой возможности пользоваться позиционной системой счисления не появилось - только через боль и страдания.

Я честно сказать не припомню чтобы мне было больно при родах (когда рождался я)
К слову сказать, вот часто в книгах и других художественных произведениях описывают как единичная система выручает. Например тех, кто считает прошедшие дни засечками на стене тюремной камеры

[Ghost_of_past]

diletto в сообщении #1696351 писал(а):

Что меня всегда удивляло, так это эффективность цифровых систем

Это все равно что удивляться, что слова наших естественных языков эффективно описывают мир/часть мира. Системы коммуникаций для этого возникали и развивались, чтобы эффективнее и проще общаться друг с другом, описывая окружающий мир.

diletto в сообщении #1696351 писал(а):

чем мы за это платим?

Ответ уже дал уважаемый rockclimber - мы заплатили за этот праздник жизни сильным развитием нервной системы. Не бесплатным развитием. Вторая сторона платы - специфика культурной эволюции человечества - не будь мы видом, развивающимся в сторону построения техногенной цивилизации, то развитие систем коммуникаций могло пойти вообще в другую степь.

diletto в сообщении #1696351 писал(а):

Ну проблемы при родах не имеют фундаментальной причины.

Для человека имеет. При неограниченной естественной рождаемости (по Бонгаартсу биологическая плодовитость около 15 детей на женщину в среднем и именно столько было бы в среднем детей, если бы не было способов ограничения рождаемости) вероятность материнской смертности для женщины без необходимого медицинского обслуживания была от 11-12 до 20% в течение жизни и даже в 19 веке она была за жизнь около 5% в европейских государствах). Не надо принимать благополучие и комфорт современной городской жизни за отсутствие фундаментальной проблемы.

diletto в сообщении #1696351 писал(а):

Вот скажем у слонов или китов вроде же нет проблем при родах из-за непомерно выросшего в размерах мозга

Потому что у них нет непомерно выросшего мозга по отношению к размерам их тела.

wrest в сообщении #1696360 писал(а):

Я честно сказать не припомню чтобы мне было больно при родах

Учитывая, что при родах рожали не Вы, то не засчитывается.

[wrest]

Ghost_of_past в сообщении #1696361 писал(а):

Не надо принимать благополучие и комфорт современной городской жизни за отсутствие фундаментальной проблемы.

Тут заполз уроборос. Ибо благополучие и комфорт не только городской но и остальной жизни есть именно следствие развития нервной системы. Ну и, конечно, во-первых просто прошло не так много времени чтобы родовые пути стали ширее. Почему бы им не стать ширее со временем? Фундаментальной проблемы не видно. Это не то что например мускульной силы не хватает чтобы летать (как птицы) с таким мозгом. Вот с этим проблема можно сказать фундаментальная. Но к счастью, есть самолёты и т.п. А во-вторых, развитая нервная система взяла и придумала обезболивание, кесарево сечение и проч.

[Ghost_of_past]

wrest в сообщении #1696362 писал(а):

Ибо благополучие и комфорт не только городской но и остальной жизни есть именно следствие развития нервной системы

Косвенное следствие. Наша нервная система серьезно не меняется несколько десятков тысячелетий, а комфортная жизнь у нас после Второй мировой войны (в Европе и США с конца 19-начала 20 веков). Так что развитая нервная система тут не единственная причина, а необходимое условие.

wrest в сообщении #1696362 писал(а):

Ну и, конечно, во-первых просто прошло не так много времени чтобы родовые пути стали ширее.

Средняя длина смены поколения сейчас 30-35 лет (раньше было еще меньше) - по среднему возрасту матери при рождении детей. Можете посчитать, сколько поколений сменилось, например, за 30 тысяч лет.

wrest в сообщении #1696362 писал(а):

Почему бы им не стать ширее со временем?

Потому что это несет последствия для прямохождения, устройства позвоночника и мышц спины. Возможно с течением времени какой-то компромисс будет выработан, но в условиях современной городской цивилизации в этом компромиссе нужды нет - медицина и высокий уровень жизни вкупе с очень низкой рождаемостью (между рождением 10-15 детей и рождением между 0 и 2 детьми в среднем по понятным причинам лежит целая пропасть) снижают материнскую смертность до околонулевых значений.

wrest в сообщении #1696362 писал(а):

Фундаментальной проблемы не видно.

Антропологам видно.

[rockclimber]

wrest в сообщении #1696360 писал(а):

Я честно сказать не припомню чтобы мне было больно при родах (когда рождался я)

А что припомните из того, что было при родах?

Я немного попытался представить... Итак, плацента отслаивается от матки, кислород перестает поступать в мозг, голову сжимает со всех сторон что-то твердое, сзади что-то толкает - прямо головой в это что-то твердое, и что там еще с шеей происходит... И так минут 5. Или 10. Потом, наконец, можно отдышаться. Хорошо, что я этого не помню

[diletto]

wrest в сообщении #1696353 писал(а):

Плата -- вычислительная сложность и низкая надёжность (записи). Если из ста палочек потеряется одна или окажется на одну больше -- ну ошибка будет один процент. Если пять - то пять процентов. А в позиционных системах надо придумывать избыточность, что дополнительно увеличивает плату (за проверку).

Этот ответ мне нравится гораздо больше, чем отсылка к размерам мозга. Потому что сколько мозг ни отращивай, а дальше запись сжать не удаётся.

Ghost_of_past в сообщении #1696361 писал(а):

Это все равно что удивляться, что слова наших естественных языков эффективно описывают мир/часть мира. Системы коммуникаций для этого возникали и развивались, чтобы эффективнее и проще общаться друг с другом, описывая окружающий мир.

Не совсем. Словарь для эффективного описания мира должен быть обширен, и протоколы комуникации изощрённы. Чисто субъективно это мне кажется соразмерной платой. А тут всего пара символов - и нате...

[rockclimber]

diletto в сообщении #1696366 писал(а):

А тут всего пара символов - и нате

За этой парой символов еще стоит набор правил, как ей пользоваться. Можете называть это "система коммуникаций", можете - "вычислительная сложность".

diletto в сообщении #1696366 писал(а):

Этот ответ мне нравится гораздо больше, чем отсылка к размерам мозга.

Это две разные "платы". И платить надо обе. И мозг надо иметь, и вычисления производить.

[Geen]

diletto в сообщении #1696366 писал(а):

А тут всего пара символов - и нате...

+--++++--++-- Что за число написано?

[diletto]

Ещё мне мерещится, что мы платим упорядочением. В следующем смысле:
Если я рисую на стене в ряд миллион палочек и говорю: "угадай-ка, какую из палочек я задумал!" - то отгадчик, который не владеет двоичным поиском, будет тыкать поочередно в каждую и спрашивать: "эта?", пока я не скажу "да, это она".
А если владеет, то он встанет около средней палочки и спросит: загаданная - справа или слева? И т.д.
Но если я палочки рисую не в ряд, а хаотически на некоторой площади, то такой возможности у отгадчика не будет. (Для большей наглядности - пусть у меня нет мелка и стены пещеры, и поэтому приходится иметь дело не с палочками, а по старинке со стадом овец.)

[Ghost_of_past]

diletto в сообщении #1696366 писал(а):

Словарь для эффективного описания мира должен быть обширен

Латиница обходится 26 символами. На обширность не тянет, вот честно.

diletto в сообщении #1696366 писал(а):

А тут всего пара символов - и нате...

За парой символов стоят "протоколы коммуникации изощрённые", как верно уже заметили в теме.