Хороший учебник по матанализу

[Rasool]

Я как-то глянул на список литературы для поступающих на магистратуру по математике в местном университете. Там указан трехтомный учебник Л.Д.Кудрявцева "Курс математического анализа". Дома есть классический трехтомник Фихтенгольца "Дифференциальное и интегральное исчисление", где все подробно разжевано. В принципе, учебник Кудрявцева подходит для самостоятельного изучения университетского курса матанализа?

[nnosipov]

Rasool в сообщении #1696173 писал(а):

В принципе, учебник Кудрявцева подходит для самостоятельного изучения университетского курса матанализа?

Думаю, да. У меня сохранились приятные воспоминания об этом учебнике (правда, тогда, в начале 80-х, он состоял из 2-х томов). Будучи 10-классником, я с удовольствием читал его (фрагментарно, конечно, но было понятно). Затем на 1-м курсе мехмата нам его советовал наш лектор С.Б. Стечкин, некоторые темы он излагал прямо по этому учебнику. Кудрявцев, конечно, попроще Зорича, но не такой занудный. Короче, хороший начальный курс.

[Rasool]

nnosipov в сообщении #1696178 писал(а):

Rasool в сообщении #1696173 писал(а):

В принципе, учебник Кудрявцева подходит для самостоятельного изучения университетского курса матанализа?

Думаю, да. У меня сохранились приятные воспоминания об этом учебнике (правда, тогда, в начале 80-х, он состоял из 2-х томов). Будучи 10-классником, я с удовольствием читал его (фрагментарно, конечно, но было понятно). Затем на 1-м курсе мехмата нам его советовал наш лектор С.Б. Стечкин, некоторые темы он излагал прямо по этому учебнику. Кудрявцев, конечно, попроще Зорича, но не такой занудный. Короче, хороший начальный курс.

Спасибо.

[Gagarin1968]

Rasool
Два года назад этот трёхтомник уже обсуждался.
Да, и кстати

vpb в сообщении #1587279 писал(а):

Я к Кудрявцеву тоже отношуся скептически, только раньше боялся об этом прямо писать. Конформность, понимаете ли. Но напишу более подробно, хотя и не прямо сейчас.

Но уважаемый vpb так и не сподобился написать.
А было бы интересно узнать его мнение.

[maxmatem]

Мне кажется, что по одному учебнику все таки сложновато . Как раз наличие нескольких учебников даёт по моему лучший результат ( это лишь из моего опыта )
Например доказательство какой либо теоремы из Кудрявцева не очень допустим понятно , а в фихтенгольце наоборот идея как то ближе и понятнее . Это естественно работает в обе стороны …

А на счёт учебника мне понравился из недавне вышедшего Прасолов , математический анализ в теоремах и задачах , но он больше как добавление к основному Курсу

[vpb]

Приношу извинения прежде всего уважаемому Mihr, которому я, собственно, и обещал написать, что же мне не нравится в Кудрявцеве, да так и не собрался.
Много я сейчас, наверное, не напишу, однако же положим начало.

Кудрявцев несомненно хорош в том отношении, что там изложение подробное, разжёванное, неторопливое. И без явных ляпов (впрочем, я действительно въедливо его не читал, особенно в целях критики). Читать его, в целом, приятно и полезно. Особенно будущим инженерам-физикам.

Но кое-что там плохо. Прежде всего, там есть "игра в научность". Дальше ссылки по изданию 1981 г.

Например, в п.1.2 дается, в самом начале, определение того, что такое множество из одного элемента. А потом определение множества из двух элементов. А потом еще упорядоченной пары "по Куратовскому", т.е. упорядоченная пара --- это множество вида $\{x, \{x,y\}\}$. Да трах-тарарах, зачем всё это здесь надо ? Это же книжка по матану, а не по аксиоматической теории множеств и прочим основаниям атематики. Сразу же читатель начинает думать, что высасывать из пальца какие-то тривиальности и ритуально танцевать вокруг них --- это и есть математика. Для сравнения, у Камынина написано гораздо более по-деловому: упорядоченная пара --- это множество из двух элементов, про которые указано, какой из них является первым, а какой вторым. Эти два элемента могут и совпадать.
И записывается она с помощью двух скобок и через запятую: $(x,y)$. Т.е. "строго" определения упорядоченной пары не дается (оно нафиг не надо), а просто максимально понятно рассказывается, что это словосочетание значит.

Да и не получилось у Кудрявцева дать это определение. Ведь, по нему, множество из двух элементов --- это $\{x,y\}$. А $\{x,x\}$ --- это множество из двух элементов, или нет ? По второму абзацу в том пункте 1.2

Кудрявцев писал(а):

Множество $А$ называется множеством из 2-х (двух) элементов, если после вычитания из него множества, состоящего только из одного элемента $a\in A$, т. е. множества, число элементов которого равно 1, останется множество, число элементов которого также равно единице. Нетрудно доказать, что это определение не зависит от выбора указанного элемента $a\in A$, т. е. если $a\in A$ и $b\in A$, причем $A\setminus \{a\}$ состоит из одного элемента, то и множество $A\setminus \{b\}$ также состоит из одного элемента (а именно, из элемента $a$).

---нет, потому что после вычитания из $\{x,x\}$ множества из одного элемента во множестве ничего не остается. Значит, $(x,x)=\{x,\{x,x\}\}$ --- не упорядоченная пара. Фсё, приплыли.

[eugensk]

В трехтомнике (в отличие от двухтомника) сильно не понравилась идея в определении предела функции брать невыколотую окрестность. Неужели это настолько упрощает, что стоит замешательства студентов от разных определений?

[Mihr]

vpb, спасибо, что написали. Наверняка Ваше мнение интересно многим, не только мне.
Позвольте пару вопросов.
1. Плохое определение упорядоченной пары - это единственный ляп у Кудрявцева, или есть и другие?
2. Вы пишете

vpb в сообщении #1696188 писал(а):

у Камынина написано гораздо более по-деловому: упорядоченная пара --- это множество из двух элементов, про которые указано, какой из них является первым, а какой вторым. Эти два элемента могут и совпадать.

(выделение моё). Вопрос: это в самом деле хорошо сказано? Выглядит как оксюморон. Поскольку, во-первых, элементы множества не упорядочены (по крайней мере, до тех пор, пока на этом множестве не задан линейный порядок), во-вторых, множество не может содержать идентичные элементы. Получается, на мой взгляд, так: "упорядоченная пара - это множество, не являющееся множеством". Это в самом деле лучше?
Тогда уж, по-моему, лучше было бы пояснить, что такое кортеж и его длина ( с любой степенью строгости либо вообще без оной), а затем сказать, что кортеж длины два называют ещё упорядоченной парой, кортеж длины три - упорядоченной тройкой и т.д. Как думаете?

[maxmatem]

Цитата:

во-вторых, множество не может содержать идентичные элементы.

тогда, что бы этого избежать вероятно надо вводить понятие мультимножества....но наверное это не стоит того.

[Mihr]

maxmatem в сообщении #1696225 писал(а):

вероятно надо вводить понятие мультимножества

Зачем? Сразу понятие кортежа. Без лишних телодвижений.

[maxmatem]

Mihr
ну раз в множестве нет повторяющих элементов, а в мультимножестве это допустимо. да на самом деле не надо этого. Кортеж )

[vpb]

Меня память подвела. Мне казалось, что Камынин ограничивается неформальным пояснением, что такое "упорядоченная пара". Но это я из какой-то другой книжки подцепил, сейчас уже лень искать, из какой. А в Камынине по этому поводу нет никаких пояснений вообще, от слова совсем. Просто словосочетание "упорядоченная пара" встречается, на стр. 11 первого тома, и дальше используется (например, для определения декартова произведения).
Вот абзац:

Л.И.Камынин писал(а):

Пусть $A$ и $B$ --- множества (из $E$) и $a\in A$, $b\in B$ --- элементы этих множеств. Рассмотрим упорядоченную пару $c=(a,b)$. Тогда равенство $(a,b)=(a',b')$ означает, что $a=a'$ и $b=b'$; в частности, равенство $(a,b)=(b,a)$ приводит к $a=b$. Первый (соответственно второй) элемент упорядоченной пары $c=(a,b)$ называется первой (соответственно второй) проекцией пары $c$ и обозначается символом $a=\mathrm{pr}_1 c$ (соответственно $b=\mathrm{pr}_2 c$).

Mihr в сообщении #1696202 писал(а):

Плохое определение упорядоченной пары - это единственный ляп у Кудрявцева, или есть и другие?

Нет, конечно. Не стал бы я книжку клеймить (а точнее, морщиться по поводу нее) из-за одной ошибки. Подробности впереди.

Mihr в сообщении #1696202 писал(а):

Вопрос: это в самом деле хорошо сказано? Выглядит как оксюморон. Поскольку, во-первых, элементы множества не упорядочены (по крайней мере, до тех пор, пока на этом множестве не задан линейный порядок), во-вторых, множество не может содержать идентичные элементы. Получается, на мой взгляд, так: "упорядоченная пара - это множество, не являющееся множеством". Это в самом деле лучше?

Нормально сказано (но где, не помню). Разница с тем, что у Кудрявцева, состоит в том, что Кудрявцев надувает щеки (типа щас дадим строгое определение упорядоченной пары, ух как дадим! ), а этот автор, которого я не помню, просто поясняет, не делая вид, что вот это --- строгое определение.

[vpb]

Mihr в сообщении #1696202 писал(а):

Тогда уж, по-моему, лучше было бы пояснить, что такое кортеж и его длина ( с любой степенью строгости либо вообще без оной), а затем сказать, что кортеж длины два называют ещё упорядоченной парой, кортеж длины три - упорядоченной тройкой и т.д. Как думаете?

Думаю, что слово "кортеж" можно и не упоминать. Просто "упорядоченный набор", или типа того. Я, когда надо, пишу "упорядоченный набор" или "$n$-ка" ("$n$-tuple") , а слово "кортеж" не употребляю.

А вот как Решетняк обходится:

Ю.Г.Решетняк писал(а):

1.5.1. Пусть даны два произвольных объекта $x$ и $y$. Говорят, что они образуют упорядоченную пару $(x,y)$, если объект $x$ считается первым, а $y$ — вторым. Об упорядоченной паре нередко говорят просто как о «паре», опуская прилагательное «упорядоченная». Первый элемент пары называют иногда ее первой компонентой, а второй, соответственно, — второй компонентой пары.
Отличительная особенность упорядоченной пары состоит в следующем. Две пары $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ считаются совпадающими в том и только в том случае, если $x_1=x_2$, $y_1=y_2$.

Мы подошли к понятию пары как к первичному понятию, хотя нетрудно показать, что для любых $x,y$ множество $\{x, \{x,y\}\}$ удовлетворяет указанному выше условию и тем самым упорядоченная пара может быть определена как множество $\{x, \{x,y\}\}$.

[Mihr]

vpb в сообщении #1696253 писал(а):

Думаю, что слово "кортеж" можно и не упоминать. Просто "упорядоченный набор", или типа того.

Ну, так это ведь то же самое. Спорить, какой из синонимов "лучше", вряд ли имеет смысл. "Кортеж" звучит короче и проще, чем "упорядоченный набор". А понятие это встретится ещё не раз, не только в матанализе: при введении понятия "декартово произведение множеств", в комбинаторике (размещение с повторениями из $n$ элементов по $k$), в теории графов (граф - кортеж из двух множеств), в теории вероятностей (понятие вероятностного пространства) и т.д. Можно говорить "упорядоченная пара" ("упорядоченная $n$-ка"), можно говорить короче: "кортеж". Не принципиально, я полагаю.

[warlock66613]

Вавилов утверждает, что слово "кортеж" инородно для математических текстов, и поэтому следует использовать "тупель".