Задача из Ширяева. Исправить опечатки

[meshok]

Доброго времени суток!
В кнгие Ширяева А.Н. Вероятность 1 в главе 3 $\S 4$ есть задача 11.
Задача 11.
Пусть $X_1,X_2,\ldots$ -- последовательность независимых случайных величин с $\mathbb{E}X_i=0, \mathbb{E}X_i^2=\sigma_i^2$.
Предположим, что для них выполняется ЦПТ и

$$ \mathbb{E}\left(D_n^{-1/2}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)^{k}\to \frac{(2k)!}{2^kk!} $$

для некоторого $k\geq 1$. Показать, что тогда выполнено условие Линдеберга порядка $k$, т.е.

$$ \sum\limits_{j=1}^n\int\limits_{\{|x|>\varepsilon\}}|x|^{k}dF_j(x)=o(D_n^{k}), \quad \varepsilon>0. $$

(обычное условие Линдеберга соответствует случаю $k=2$).
В таком виде задача приведена и в англ. версии учебника, и в задачнике Ширяева "Задачи по теории вероятностей". Как мне кажется, в этой поставновке нужно как минимум три исправления.
Задача 11.
Пусть $X_1,X_2,\ldots$ -- последовательность независимых случайных величин с $\mathbb{E}X_i=0, \mathbb{E}X_i^2=\sigma_i^2$.
Предположим, что для них выполняется ЦПТ и (1-ая опечатка в степени: $2k$ вместо $k$)

$$ \mathbb{E}\left(D_n^{-1/2}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)^{2k}\to \frac{(2k)!}{2^kk!} $$

для некоторого $k> 1$ (2-ая опечатка: $k>1$ вместо $k\geq 1$). Показать, что тогда выполнено условие Линдеберга порядка $k$, т.е. (3-ья опечатка в пределах интегрирования: $\{|x|>\varepsilon D_n\}$ вместо $\{|x|>\varepsilon \}$)

$$ \sum\limits_{j=1}^n\int\limits_{\{|x|>\varepsilon D_n\}}|x|^{k}dF_j(x)=o(D_n^{k}), \quad \varepsilon>0. $$

(обычное условие Линдеберга соответствует случаю $k=2$).
Поскольку задача выглядит нетривиальной, то единственная опечатка, в которой я уверен на $99%$, - это 3-ья, т.к. она более менее очевидная.
Еще я допускаю, что в условии пропущено еще одно предположение: $\frac{\max_{i=1,..,n} \sigma_i^2}{D_n}\to 0$.
Может быть кто-нибудь решал эту задачу?

[vicvolf]

Да, с опечатками похоже Вы правы. Дополнительное условие тоже нужно, так как выполнения ЦПТ не достаточно.

[Combat Zone]

Тут другая беда больше. Ширяев обозначает дисперсию суммы $D_n^2$, т.е. $D_n$ - это с.к.о. суммы. Тогда $\sqrt D_n$, которым сумма нормируется, вообще непонятно что делает там. То есть в процессе формулировки задачи $D_n$ выступало то как дисперсия, то как с.к.о. Оттого и все беды.
Степени достаточно брать четные - это сходимость к моментам порядка $2k$ стандартного нормального распределения. Остальные моменты нулевые. Но тогда и условие Линдеберга будет для той же степени.
Вроде так.

-- 13.07.2025, 01:31 --

meshok в сообщении #1693717 писал(а):

Задача 11.
Пусть $X_1,X_2,\ldots$ -- последовательность независимых случайных величин с $\mathbb{E}X_i=0, \mathbb{E}X_i^2=\sigma_i^2$.
Предположим, что для них выполняется ЦПТ и (1-ая опечатка в степени: $2k$ вместо $k$)

$$ \mathbb{E}\left(D_n^{-1/2}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)^{2k}\to \frac{(2k)!}{2^kk!} $$

для некоторого $k> 1$ (2-ая опечатка: $k>1$ вместо $k\geq 1$). Показать, что тогда выполнено условие Линдеберга порядка $k$, т.е. (3-ья опечатка в пределах интегрирования: $\{|x|>\varepsilon D_n\}$ вместо $\{|x|>\varepsilon \}$)

$$ \sum\limits_{j=1}^n\int\limits_{\{|x|>\varepsilon D_n\}}|x|^{k}dF_j(x)=o(D_n^{k}), \quad \varepsilon>0. $$

(обычное условие Линдеберга соответствует случаю $k=2$).

И еще раз:
Пусть $X_1,X_2,\ldots$ -- последовательность независимых случайных величин с $\mathbb{E}X_i=0, \mathbb{E}X_i^2=\sigma_i^2$. Обозначим $D_n^2 =\sum_{k=1}^n \sigma_k^2$.
Предположим, что для этой последовательности с.в. выполняется ЦПТ и

$$ \mathbb{E}\left(D_n^{-1}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)^{2k}\to \frac{(2k)!}{2^kk!} $$

для некоторого $k\ge 1$. Показать, что тогда выполнено условие Линдеберга порядка $2k$

$$ \sum\limits_{j=1}^n\int\limits_{\{|x|>\varepsilon D_n\}}|x|^{2k}dF_j(x)=o(D_n^{2k}), \quad \varepsilon>0. $$

(обычное условие Линдеберга соответствует случаю $k=1$).

[Combat Zone]

meshok в сообщении #1693717 писал(а):

что для них выполняется ЦПТ

Кстати, а которая цпт имеется в виду? С равномерной сходимостью ф.р. или с поточечной (классическая слабая сходимость)?

[meshok]

Combat Zone в сообщении #1694040 писал(а):

Тут другая беда больше. Ширяев обозначает дисперсию суммы $D_n^2$, т.е. $D_n$ - это с.к.о. суммы. Тогда $\sqrt D_n$, которым сумма нормируется, вообще непонятно что делает там. То есть в процессе формулировки задачи $D_n$ выступало то как дисперсия, то как с.к.о. Оттого и все беды.

Такой вариант я тоже рассматривал, но остановился на том, что в данном случае у Ширяева именно $D_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\sigma_i^2$. Я так решил, поскольку в одной работе Бернштейна есть почти один в один эта задача: при тех же условиях, которые я написал, доказывается, что справедливо условие Ляпунова порядка $2k$, из которого, как мне кажется, должно следовать условие Линдеберга порядка $k$. Но поскольку условие Линдеберга слабее условия Ляпунова, то возможно я своими "опечатками" упростил задачу.
Эту работу Бернштейна можно найти в книге Бернштейн С.Н. "Собрание сочинений", том 4, стр. 358. В интернете эта книга есть.

Цитата:

Кстати, а которая цпт имеется в виду? С равномерной сходимостью ф.р. или с поточечной (классическая слабая сходимость)?

В ЦПТ ведь всегда равномерная сходимость, поскольку предельная функция распределения непрерывна.

[Combat Zone]

meshok в сообщении #1694147 писал(а):

В ЦПТ ведь всегда равномерная сходимость, поскольку предельная функция распределения непрерывна.

Да, спасибо.

meshok в сообщении #1694147 писал(а):

Эту работу Бернштейна можно найти в книге Бернштейн С.Н. "Собрание сочинений", том 4, стр. 358. В интернете эта книга есть.

Да, я знаю. Еще у Петрова, кажется. Если только он не ссылается в этом месте на Бернштейна. Петров посовременнее язык и стиль, я больше туда смотрю.

meshok в сообщении #1694147 писал(а):

Я так решил, поскольку в одной работе Бернштейна есть почти один в один эта задача: при тех же условиях

А где там эта задача? Мне она не попалась. Там есть задача про сходимость абсолютных моментов, - она везде почти есть, - этой в точности не вижу.

meshok в сообщении #1694147 писал(а):

что справедливо условие Ляпунова порядка $2k$, из которого, как мне кажется, должно следовать условие Линдеберга порядка $k$

Из условия Ляпунова порядка $2k$ следует условие Линдеберга того же порядка, выполнение условия Линдеберга более низкого порядка - это уже более слабое утверждение. Разве нет?

Но одно понятно - что исходная сходимость, даже если она записана верно, - это сходимость для четных моментов.
Выполнение условие Феллера нужно, вы правы.
И если вы считаете что $D_n$ это дисперсия, тогда и в пределах интегрирования, наверное, нужно писать корень, чтобы было с.к.о., и в о-маленьком степень вдвое ниже.

[meshok]

Combat Zone в сообщении #1694167 писал(а):

А где там эта задача? Мне она не попалась. Там есть задача про сходимость абсолютных моментов, - она везде почти есть, - этой в точности не вижу.

Да, там про абс. моменты, но если p-четное, то абс. моменты становятся обычными.

Combat Zone в сообщении #1694167 писал(а):

Из условия Ляпунова порядка $2k$ следует условие Линдеберга того же порядка, выполнение условия Линдеберга более низкого порядка - это уже более слабое утверждение. Разве нет?

Вот этого я не знаю, в самой книге Ширяева показано, что если верно условие Ляпунова для $p=2+\delta$, то верно условие Линдебрега для $p=2$.

Combat Zone в сообщении #1694167 писал(а):

И если вы считаете что $D_n$ это дисперсия, тогда и в пределах интегрирования, наверное, нужно писать корень, чтобы было с.к.о., и в о-маленьком степень вдвое ниже.

Да, это уже у меня опечатка.

Combat Zone в сообщении #1694167 писал(а):

Выполнение условие Феллера нужно, вы правы.

Это можно как-то легко увидеть?

[Combat Zone]

Пусть тут будет, чтобы не ссылаться все время. Это Боровков, не Ширяев. https://disk.yandex.ru/i/Q5asIwaTj1A3jQ
Нас интересует параграф 4, с. 164. На с. 166 приведено определение отношения Ляпунова и условия Ляпунова произвольного порядка. Оттуда хорошо видно, что матожидания, которые фигурируют в условии Линдеберга порядка $k$, не превосходят матожиданий из условий Ляпунова того же порядка, то есть оценить одно другим несложно.

meshok в сообщении #1694395 писал(а):

Это можно как-то легко увидеть?

Да, следом за Ляпуновым идет замечание 5, которое как раз об этом. Т.е. не должно быть "выбросов". (Оно о другом, но этот пример сгодится и на наш случай).

Вообще, ЦПТ Линдеберга-Феллера может звучать, например, так (схематично):
При выполнении условии Феллера
ЦПТ равносильна условию Линдеберга (второго порядка).

То есть. Если выполнена ЦПТ (для разнораспределенных), то условие Линдеберга выполнено только в том случае, когда выполнено условие Феллера.
В другую сторону требовать выполнения условия Феллера необязательно, оно следует из условия Линдеберга так же, как и сама ЦПТ.

Бернштейн об условии Феллера, кстати, упорно вспоминает в начале соотв. текста, но потом говорит, что "дальше я буду подразумевать, что оно выполняется".

meshok в сообщении #1694395 писал(а):

Да, там про абс. моменты, но если p-четное, то абс. моменты становятся обычными.

Верно, это мне почему-то помнилось, что там не момент модуля суммы, а сумма модулей. Но в любом случае, утверждение из задачи в Петрове (или Бернштейне) эквивалентно нашему только для четных моментов, для нечетных его надо брать как есть. Вот я принесу как есть из Петрова.
https://disk.yandex.ru/i/M1sUWNCdQIy_5Q
Тут Ляпунов, как видите. Но это ничего страшного.