Выигрышная стратегия в игре "15"

[maravan]

Недавно узнал про игру "15". Суть игры заключается в следующем:
1. Играют два игрока
2. У каждого игрока есть счёт, изначально у каждого 0
3. В свой ход игрок говорит: "прибавляю себе" либо "отнимаю у противника", после чего кидает игральную кость и выполняет соответствующее действие с выпавшим числом
4. Выигрывает тот, кто наберёт хотя бы 15 очков

Я заметил, что верна следующая деталь: вне зависимости от выбранного игроком варианта, разность между счетами изменится на одну и ту же величину (если игрок прибавляет себе, то разность его счёта и счёта противника увеличивается на выпавшее число. Если же отнимает у противника, то разность его счёта и счёта противника также увеличивается на выпавшее число)

После этого я подумал: раз выбор игрока не влияет на разницу счётов, то верно ли что в игре есть выигрышная стратегия, причем если сейчас мой ход и у меня $ X $, а у противника $ Y $, причем $ X \geq Y $, то мне "выгоднее" прибавлять себе. Иначе "выгодно" отнимать у противника.

Интуитивно кажется, что если у меня есть преимущество, то чем раньше я получу 15, тем быстрее выиграю, поэтому если я прибавлю себе, то у противника будет "меньше времени отыграться". А если у меня меньше, то если я отниму у противника, то у меня будет "больше времени отыграться".

Есть ли у этого строгое обоснование, т.е. есть ли в этой игре выигрышная стратегия, и если есть, совпадает ли она с "интуитивной", и если нет, то как можно доказать, что она отсутствует?

[Утундрий]

maravan в сообщении #1693553 писал(а):

после чего кидает игральную кость

Какую?

[maravan]

Утундрий в сообщении #1693555 писал(а):

maravan в сообщении #1693553 писал(а):

после чего кидает игральную кость

Какую?

Со значениями от 1 до 6. Каждое значение выпадает равновероятно.

[Утундрий]

maravan в сообщении #1693556 писал(а):

Со значениями от 1 до 6

Просто, чтобы было понятно, это не придирка. Разнообразие всяких "костей" весьма доставляет. Погуглите, хотя бы, «Платоновы тела» или «D&D».

[EUgeneUS]

Утундрий

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1693555 писал(а):

Какую?

...

Утундрий в сообщении #1693557 писал(а):

Разнообразие всяких "костей" весьма доставляет. Погуглите, хотя бы, «Платоновы тела» или «D&D».

В одной из серий "Теории большого взрыва" ровно тот же вопрос задал Шелдон.
Но даже Шелдон, у которого очевидные расстройства аутичного спектра, задал этот вопрос в контексте «D&D»

-- 08.07.2025, 16:03 --

maravan в сообщении #1693553 писал(а):

т.е. есть ли в этой игре выигрышная стратегия,

Рассмотрим крайний случай, $X=Y=14$
Очевидно, что если следующим ходом буду прибавлять себе, то выиграю с вероятностью $1$.
А если буду отнимать у противника, то могут быть нюансы.
Так что правильная стратегия существует, по крайней мере, в крайнем случае.

[Евгений Машеров]

Простенький численный эксперимент даёт (после 10000 испытаний, ограничение - если 1000 раундов в одном испытании не дали никому 15 очков, считается "ничья"), что начинающий (всегда увеличивающий свой счёт) выигрывает в 41% случаев, проигрывает в 28% и ничья в 31%. Но здесь предполагается, что отрицательное число очков допустимо, так что часто счёт уходит в минуса надолго. Можно предполагать, что если ничья будет засчитываться после не 1000, а большего числа безуспешных испытаний, число ничьих уменьшится, стремясь по мере увеличения лимита к нулю.
Видимо, надо рассмотреть случайное блуждание на плоскости.

[EUgeneUS]

Евгений Машеров в сообщении #1693623 писал(а):

что начинающий (всегда увеличивающий свой счёт) выигрывает в 41% случаев, проигрывает в 28% и ничья в 31%.

При таких правилах у начинающего преимущество: чтобы обраться до $15$ у него на один бросок больше.

[Geen]

maravan в сообщении #1693553 писал(а):

и выполняет соответствующее действие с выпавшим числом

Отрицательный счёт допускается?