Гауссовский процесс

[seraphimt]

Здравствуйте, подскажите, пожалуйста, правильно ли я понял. В книге Ширяева есть утверждельности о временной инверсии винеровского процесса:
если $W(t)$ винеровский, то $tW(\frac{1}{t})$ тоже.
Там доказывается по определению 2,которое про гаусовскость. И сказано, что "понятно, что этот процесс тоже гауссовский". Но мне не понятно, поэтому попробую расписать.

Поскольку для $W(t)$ любые конечномерные распределения гауссовы , то это верно и для всякого набора $(W(\frac{1}{t_1}), \dots ,W(\frac{1}{t_k}))$
Из теорвера известно, что $\eta = B\xi \implies \phi_{\eta}(t) = \phi_{\xi}(B^T t)$
Пусть $B$ - матрица, где вне главной диагонали 0, а на ней на $i$ месте стоит $t_i$. Тогда
$(t_1W(\frac{1}{t_1}), \dots ,t_kW(\frac{1}{t_k})) = B(W(\frac{1}{t_1}), \dots ,W(\frac{1}{t_k}))$
Отсюда
$\phi'(s) = \phi(Bs) = \exp(i<a, Bs>-\frac{1}{2}<CBs, Bs>) = \exp(i<Ba, s>-\frac{1}{2}<CBBs, s>)$
Но $Ba = a' \in \mathbb{R}^ k$, а $CBB$ - неотрицательная симметрическая матрица.
Значит любой $(t_1W(\frac{1}{t_1}), \dots ,t_kW(\frac{1}{t_k}))$ тоже гауссов.

[ShMaxG]

В целом верно, только там должно быть $BCB$ с точностью до транспонирования, которое здесь несущественно. Утверждение можно было бы доказать еще проще, если воспользоваться свойством о том, что вектор является гауссовским тогда и только тогда, когда любая линейная комбинация его компонент -- гауссовская случайная величина. Это свойство есть в Ширяеве. В этом случае доказываемое утверждение становится совсем очевидным.

[seraphimt]

ShMaxG
Спасибо!

ShMaxG в сообщении #1693192 писал(а):

вектор является гауссовским тогда и только тогда, когда любая линейная комбинация его компонент -- гауссовская случайная величина

Это я видел, но не совсем понимаю, как применить здесь, линейной комбинации вроде нет.

[Combat Zone]

Почему нет, есть умножение на константу $t$. Так что при фиксированном $t>0$ можно преобразовать $tW(1/t)=W(t)$.

[Combat Zone]

seraphimt в сообщении #1693472 писал(а):

как применить здесь, линейной комбинации вроде нет.

Но имелось в виду не это.
$(x_1,\ldots, x_k) $ - нормально распределен если и только если нормально распределена с.в. $\sum_{i=1}^k \alpha_i x_i$, для любого набора альфа. Нормальное распределение сл. величины проверять обычно быстрее и проще, чем вектора. Надо ли, нет ли - смотрите сами.

[ShMaxG]

Combat Zone в сообщении #1693492 писал(а):

Так что при фиксированном $t>0$ можно преобразовать $tW(1/t)=W(t)$.

Уточню для топикстартера на всякий случай, что это равенство по распределению, а не буквальное.

[Combat Zone]

ShMaxG, да, спасибо.