Задача 2.1 #8.ii из Topology Without Tears

[skobar]

Dedekind в сообщении #1693094 писал(а):

В W. Ruding "Principles of Mathematical Analysis" countable - это именно счетный. Но я не знаю, может он уже морально устарел.

True. Но, скажем, английская википедия определяет "countable" как "не более чем счетное", как и тот же Халмош в "Naive Set Theory". Для меня, как и для вас, это было неожиданно узнать.

Dedekind в сообщении #1693094 писал(а):

Хорошо, тогда как в этой фразе понимать слова
skobar в сообщении #1693024
писал(а):
Тогда семейство становится счетным, а пересечение не меняется).
"счетная функция"?

Все таки лучше говорить "счетное семейство". Понимать естественным образом - индексное множество становится счетным, а пересечение семейства, как пересечение множеств из образа, не меняется. Так определяется пересечение семейства множеств в уже многократно упоминавшимся Халмоше.

-- 02.07.2025, 15:37 --

mihaild в сообщении #1693095 писал(а):

Если требовать именно пересечения счетного числа различных множеств

Требование того, чтобы все множества в семействе (в образе семейства, формально говоря) были различны сродни требованию, чтобы в определении последовательности все члены были различны :)

[Dedekind]

skobar в сообщении #1693096 писал(а):

Понимать естественным образом - индексное множество становится счетным, а пересечение семейства, как пересечение множеств из образа, не меняется. Так определяется пересечение семейства множеств в уже многократно упоминавшимся Халмоше.

Спасибо, перечитал еще раз Халмоша, это вроде бы прояснилось.

Правда дальше опять что-то запутался:)

skobar в сообщении #1693096 писал(а):

Требование того, чтобы все множества в семействе (в образе семейства, формально говоря) были различны сродни требованию, чтобы в определении последовательности все члены были различны :)

Но ведь образ семейства - это множество, я правильно понимаю? Если да, тогда как в нем могут быть одинаковые элементы? Ведь $\{a, b, c, c, c, c, ...\} = \{a, b, c\}$. Я понимаю, что функция семейства ставит в соответствие всем числам 3, 4, 5, ... один единственный элемент $c$. Но кажется некорректным говорить, что множество (образ семейства) состоит из повторяющихся элементов. Поправьте, пожалуйста, если ошибаюсь.

[skobar]

Dedekind в сообщении #1693097 писал(а):

Но ведь образ семейства - это множество, я правильно понимаю?

Совершенно правильно.

Dedekind в сообщении #1693097 писал(а):

Если да, тогда как в нем могут быть одинаковые элементы? Ведь $\{a, b, c, c, c, c, ...\} = \{a, b, c\}$

Не могут. Если двум различным индексам соответствует один и тот же элемент, то при взятии образа они сливаются в один.

Dedekind в сообщении #1693097 писал(а):

Но кажется некорректным говорить, что множество (образ семейства) состоит из повторяющихся элементов

Совершенно верно, так говорить некорректно.

Выше под требованием, чтобы "все члены последовательности были различны" имелось ввиду, что если $i\neq j$, то $x_i\neq x_j$, т.е. требование задействует все определение последовательности, а не только образ.

[Dedekind]

skobar
Понятно, спасибо.