Задача 2.1 #8.ii из Topology Without Tears

[lebesgspacine]

$G_\delta$ множеством называется не более чем счётное (countable) пересечение открытых множеств. Докажите, что все открытые интервалы $(a, b)$ и все замкнутые интервалы $[a, b]$ являются $G_\delta$ множествами в $\mathbb R$.

Я решил эту задачу только для открытых интервалов частично:
Я так понимаю, что "все открытые интервалы $(a, b)$ являются $G_\delta$ множествами в $\mathbb R$" означает, что $A = (a, b) \rightarrow A = \bigcap_{i \in N}S_{i}$, где $N$ это произвольное подмножество $\mathbb N$, а $S_i$ открытое множество.

Предположим $A = (a, b)$.

Конечный случай:
База индукции:
Предположим $A = (a, b)$. Пусть $S_{1} = (a, b + 1)$ и $S_{2} = (a - 1, b)$. Тогда $S_{1} \cap S_{2} = (a, b + 1) \cap (a - 1, b) = (a, b)$.

Шаг индукции:
Предположим $A = \bigcap^{n}_{i = 1}S_{i}$. Пусть $S = (a, b + 1)$. Тогда $\bigcap^{n + 1}_{i = 1}S_{i} = \bigcap^{n}_{i = 1}S_{i} \cap S = (a, b) \cap (a, b + 1) = (a, b)$.

Верно ли я доказал для конечного случая?
Я думаю что для счётного случая можно использовать счётное пересечение интервалов вида $(a - n, b)$, где $n$ целое число с $n \geq 0$. Так?

[dgwuqtj]

lebesgspacine в сообщении #1692528 писал(а):

Я так понимаю, что "все открытые интервалы $(a, b)$ являются $G_\delta$ множествами в $\mathbb R$" означает, что $A = (a, b) \rightarrow A = \bigcap_{i \in N}S_{i}$, где $N$ это произвольное подмножество $\mathbb N$, а $S_i$ открытое множество.

А полностью с кванторами это не запишете? В частности, какой квантор навешен на $N$?

[ИСН]

Не-более-чем-счётное множество может с той же лёгкостью состоять из одного элемента, как и из двух.

[lebesgspacine]

dgwuqtj в сообщении #1692544 писал(а):

lebesgspacine в сообщении #1692528 писал(а):

Я так понимаю, что "все открытые интервалы $(a, b)$ являются $G_\delta$ множествами в $\mathbb R$" означает, что $A = (a, b) \rightarrow A = \bigcap_{i \in N}S_{i}$, где $N$ это произвольное подмножество $\mathbb N$, а $S_i$ открытое множество.

А полностью с кванторами это не запишете? В частности, какой квантор навешен на $N$?

$$\forall a \in \mathbb R\forall b \in \mathbb R\forall N \subseteq \mathbb N(A = (a, b) \rightarrow A = \bigcap_{i \in N}S_{i})$$

Но лучше это заменить на $\forall a \in \mathbb R\forall b \in \mathbb R(A = (a, b) \rightarrow A = \bigcap_{i \in \mathbb N}S_{i})$.

[mihaild]

Квантора по $S_i$ не хватает.
И, хотя это определение и эквивалентно оригинальному, но всё же

lebesgspacine в сообщении #1692528 писал(а):

не более чем счётное (countable) пересечение открытых множеств

А у Вас "не более чем счётное" заменено на просто "счётное".

[skobar]

lebesgspacine

Попробую написать прямо, о чем уважаемые участники форума писали выше косвенно.
По-моему, вы несколько неправильно предоставляете себе определение $G_\delta$-множества. Для того, чтобы доказать, что какое-то множество является $G_\delta$-множеством, требуется найти какое-то одно представление его в виде пересечения не более чем счетного числа открытых множеств, а не строить такое представление для каждого подмножества натуральных чисел, как это делали вы.
В частности, интервал $(a,b)$ уже открыт и является пересечением семейства открытых множеств состоящего из одного единственного множества - этого самого интервала. Поэтому, тот факт, что $(a,b)$ - это $G_\delta$-множество совершенно очевиден.

[lebesgspacine]

Пусть $a$ и $b$ произвольные вещественные числа. Объединение семейства множеств, состоящего из $(a, b)$ ($\bigcup \{(a, b)\}$) равно $(a, b)$. Так как $(a, b)$ открыт в $\mathbb R$, из этого следует, что $(a, b)$ является $G_{\delta}$-множеством.

[Dedekind]

lebesgspacine
Так все-таки, откуда Вы взяли "не более чем счетное"? В оригинале же просто "countable".

[dgwuqtj]

Возьмём вообще множество $\mathbb R$. Оно является пересечением семейства $\{\mathbb R\}$ из одного открытого подмножества. Пересечения семейств из нескольких открытых подмножеств уже строго меньше.

[skobar]

lebesgspacine в сообщении #1693019 писал(а):

Пусть $a$ и $b$ произвольные вещественные числа. Объединение семейства множеств, состоящего из $(a, b)$ ($\bigcup \{(a, b)\}$) равно $(a, b)$. Так как $(a, b)$ открыт в $\mathbb R$, из этого следует, что $(a, b)$ является $G_{\delta}$-множеством.

Все правильно, только слово "Объединение" нужно заменить на "Пересечение", согласно определению $G_\delta$-множества.

-- 01.07.2025, 18:05 --

Dedekind в сообщении #1693020 писал(а):

Так все-таки, откуда Вы взяли "не более чем счетное"? В оригинале же просто "countable".

Какая разница? Совершенно очевидно, что два определения эквивалентны (если семейство открытых множеств конечно, то берем любое множество из семейства и повторяем его счетное число раз. Тогда семейство становится счетным, а пересечение не меняется).

[lebesgspacine]

skobar в сообщении #1693024 писал(а):

lebesgspacine в сообщении #1693019 писал(а):

Пусть $a$ и $b$ произвольные вещественные числа. Объединение семейства множеств, состоящего из $(a, b)$ ($\bigcup \{(a, b)\}$) равно $(a, b)$. Так как $(a, b)$ открыт в $\mathbb R$, из этого следует, что $(a, b)$ является $G_{\delta}$-множеством.

Все правильно, только слово "Объединение" нужно заменить на "Пересечение", согласно определению $G_\delta$-множества.

Ой, не уследил.

skobar в сообщении #1693024 писал(а):

Dedekind в сообщении #1693020 писал(а):

Так все-таки, откуда Вы взяли "не более чем счетное"? В оригинале же просто "countable".

Какая разница? Совершенно очевидно, что два определения эквивалентны (если семейство открытых множеств конечно, то берем любое множество из семейства и повторяем его счетное число раз. Тогда семейство становится счетным, а пересечение не меняется).

Я считаю, что "не более, чем счётное" и countable это эквивалентные термины. Это конечное или счётное множество. А счётное множество это равномощное множеству натуральных чисел ($\mathbb N$) множество.

А индексированное семейство $f : J \rightarrow X$ это сюръективная функция по определению, необязательно инъективная. Для некоторого элемента $X$ может быть несколько пар с разными индексами.

-- 02.07.2025, 08:18 --

Вот поэтому я и заменил определение-формулу.

[Dedekind]

skobar в сообщении #1693024 писал(а):

Совершенно очевидно, что два определения эквивалентны (если семейство открытых множеств конечно, то берем любое множество из семейства и повторяем его счетное число раз. Тогда семейство становится счетным, а пересечение не меняется).

Скорее всего, да, эквивалентны. Но не думаю, что это обоснование подходит. Счетность множества подразумевает его биекцию с натуральными числами. А у повторенного элемента нарушается условие инъективности. С каким натуральным числом его сопоставить?

lebesgspacine в сообщении #1693059 писал(а):

Я считаю, что "не более, чем счётное" и countable это эквивалентные термины.

А, хорошо, тогда понятно. Я просто привык немного к другой терминологии:)

[skobar]

lebesgspacine в сообщении #1693059 писал(а):

Я считаю, что "не более, чем счётное" и countable это эквивалентные термины. Это конечное или счётное множество. А счётное множество это равномощное множеству натуральных чисел ($\mathbb N$) множество.

Полистал книжки, похоже, что вы правы. Странным образом термин "countable" в английском и термин "счетный" в русском означают не одно и то же, как было бы естественно думать. Действительно, неожиданно в английском "countable" означает именно "не более чем счетный", а не "счетный".

-- 02.07.2025, 14:24 --

Dedekind в сообщении #1693061 писал(а):

Скорее всего, да, эквивалентны. Но не думаю, что это обоснование подходит. Счетность множества подразумевает его биекцию с натуральными числами. А у повторенного элемента нарушается условие инъективности. С каким натуральным числом его сопоставить?

Семейство определяется как функция из индексного множества в какое-то множество. См., например, Halmos "Naive Set Theory", глава "Families". Это же определение семейства привел lebesgspacine выше. Похоже, что вы подменяете определение семейства множеств как функции на образ этой самой функции.

[Dedekind]

skobar в сообщении #1693093 писал(а):

Действительно, неожиданно в английском "countable" означает именно "не более чем счетный", а не "счетный".

В W. Ruding "Principles of Mathematical Analysis" countable - это именно счетный. Но я не знаю, может он уже морально устарел.

skobar в сообщении #1693093 писал(а):

Семейство определяется как функция из индексного множества в какое-то множество.

Хорошо, тогда как в этой фразе понимать слова

skobar в сообщении #1693024 писал(а):

Тогда семейство становится счетным, а пересечение не меняется).

"счетная функция"?

[mihaild]

Dedekind в сообщении #1693061 писал(а):

Скорее всего, да, эквивалентны. Но не думаю, что это обоснование подходит. Счетность множества подразумевает его биекцию с натуральными числами

Если требовать именно пересечения счетного числа различных множеств - то не эквивалентны. Как всё $\mathbb R$ представить в таком виде?