Упорядоченная пара

[Xo4y3HaTb]

Дано определение упорядоченной пары мн-в.
Далее говорится об упорядоченной паре элементов мн-в. А что это такое? Я же не имею права просто заменить в определении $(X, Y)$ на $(x,y)=\lbrace \lbrace x\rbrace, \lbrace x, y\rbrace \rbrace$? (могу заменить только на $(\lbrace x\rbrace, \lbrace y\rbrace)$, но это не то, что мне нужно). Шапошников С.В. в лекции определяет упорядоченную пару $(x, y)$ как мн-во вида $\lbrace x,\lbrace x,y\rbrace\rbrace $. В любом случае при обоих определениях у меня получается, что ни одна пара $p=(x,y)$ не принадлежит мн-ву $P(P(x)\cup P(Y))$.
Пусть $X=\lbrace x\rbrace, Y=\lbrace y\rbrace$. Тогда $P(X)\cup P(Y)=\lbrace \lbrace x\rbrace ,\lbrace y\rbrace \rbrace, P(P(X)\cup P(Y))=\lbrace \lbrace \lbrace x\rbrace\rbrace , \lbrace \lbrace y\rbrace\rbrace , \lbrace \lbrace x, y\rbrace\rbrace\rbrace$. Ни один эл-т $p=(x,y)\in P(P(X)\cup P(Y))$ не имеет ни такой вид $\lbrace x,\lbrace x,y\rbrace\rbrace $, ни такой вид $\lbrace \lbrace x\rbrace, \lbrace x, y\rbrace \rbrace$. Т.е. в данном мн-ве нет упорядоченных пар удовлетворяющих определениям. Не могу понять где ошибка.

[mihaild]

Xo4y3HaTb в сообщении #1691418 писал(а):

Я же не имею права просто заменить в определении $(X, Y)$ на $(x,y)=\lbrace \lbrace x\rbrace, \lbrace x, y\rbrace \rbrace$?

Почему? Имеете, это определение записи $(\cdot, \cdot)$.

Xo4y3HaTb в сообщении #1691418 писал(а):

$P(X)\cup P(Y)=\lbrace \lbrace x\rbrace ,\lbrace y\rbrace \rbrace, P(P(X)\cup P(Y))=\lbrace \lbrace \lbrace x\rbrace\rbrace , \lbrace \lbrace y\rbrace\rbrace , \lbrace \lbrace x, y\rbrace\rbrace\rbrace$

Неправильно. Посмотрите внимательнее.

Плюс тут у Зорича опечатка - должно быть $P(P(X \cup Y))$ - иначе неоткуда взяться $x$ и $y$ в одном множестве.

[Anton_Peplov]

Xo4y3HaTb в сообщении #1691418 писал(а):

Далее говорится об упорядоченной паре элементов мн-в. А что это такое?

Есть несколько способов определить упорядоченную пару средствами теории множеств. Наиболее известный - упорядоченная пара по Куратовскому: $(x, y) = \{\{x\}, \{x, y\}\}$. Есть еще упорядоченная пара по Винеру и другие.

Определение упорядоченной пары по Куратовскому позволяет определить декартово произведение через булеан и выделение с помощью предиката. Упорядоченная пара $(x, y)= \{\{x\}, \{x, y\}\}$ . Множества $\{x\}$ и $\{x, y\}$ можно выделить из $B_1 = P (X \cup Y)$ (здесь и далее $P(X)$ означает булеан $X$). Значит, $\{\{x\}, \{x, y\}\}$ можно выделить из $B_2 = P(B_1)$ . И, наконец, множество всех упорядоченных пар можно выделить из $B_3 = P(B_2)$ . См. Куратовский, Мостовский. Теория множеств. М.: Мир, 1970 - с. 70.

-- 19.06.2025, 21:06 --

Xo4y3HaTb в сообщении #1691418 писал(а):

Я же не имею права просто заменить в определении $(X, Y)$ на $(x,y)=\lbrace \lbrace x\rbrace, \lbrace x, y\rbrace \rbrace$? (могу заменить только на $(\lbrace x\rbrace, \lbrace y\rbrace)$, но это не то, что мне нужно).

В основаниях математики обычно используется теория множеств без атомов, в ней каждый элемент - это множество. Даже натуральное число - это множество. С непривычки это выглядит довольно странно, но не обязательно много думать об этом. Просто Зорич, как обычно, лезет глубже, чем требуется в курсе матана.

[Xo4y3HaTb]

mihaild в сообщении #1691421 писал(а):

это определение записи $(\cdot, \cdot)$.

Понял. Я подумал, что дано определение именно упорядоченной пары МН-В.

mihaild в сообщении #1691421 писал(а):

Xo4y3HaTb в сообщении #1691418 писал(а):

$P(X)\cup P(Y)=\lbrace \lbrace x\rbrace ,\lbrace y\rbrace \rbrace, P(P(X)\cup P(Y))=\lbrace \lbrace \lbrace x\rbrace\rbrace , \lbrace \lbrace y\rbrace\rbrace , \lbrace \lbrace x, y\rbrace\rbrace\rbrace$

Неправильно. Посмотрите внимательнее.

Судя по тому, что мощность булеана есть $2^n$, то в каждом мн-ве не хватает только пустого. Но я его не пишу, т.к. оно содержится в каждом мн-ве по умолчанию.

mihaild в сообщении #1691421 писал(а):

Плюс тут у Зорича опечатка - должно быть $P(P(X \cup Y))$ - иначе неоткуда взяться $x$ и $y$ в одном множестве.

Вот и я видел, что невозможно поместить $x$ и $y$ в одно мн-во. Теперь понятно! Спасибо!

Anton_Peplov в сообщении #1691423 писал(а):

Определение упорядоченной пары по Куратовскому позволяет определить декартово произведение через булеан и выделение с помощью предиката. Упорядоченная пара $(x, y)= \{\{x\}, \{x, y\}\}$ . Множества $\{x\}$ и $\{x, y\}$ можно выделить из $B_1 = P (X \cup Y)$ (здесь и далее $P(X)$ означает булеан $X$). Значит, $\{\{x\}, \{x, y\}\}$ можно выделить из $B_2 = P(B_1)$ . И, наконец, множество всех упорядоченных пар можно выделить из $B_3 = P(B_2)$ . См. Куратовский, Мостовский. Теория множеств. М.: Мир, 1970 - с. 70.

Из $B_2$ уже выделяется мн-во всех упорядоченных пар. $B_3$ получается лишнее. Cпасибо за пример!

Anton_Peplov в сообщении #1691423 писал(а):

В основаниях математики обычно используется теория множеств без атомов, в ней каждый элемент - это множество.

Правильно ли Вас понимаю, что в таком случае я могу расценивать записи $(x, y)$ и $(\lbrace x\rbrace, \lbrace y\rbrace)$ как равносильные? Или мн-во $X=\lbrace x, y\rbrace$ состоящее из эл-в $x,y $ расцениваю как мн-во состоящее из мн-в $\lbrace x\rbrace, \lbrace y\rbrace$?

[mihaild]

Xo4y3HaTb в сообщении #1691446 писал(а):

Судя по тому, что мощность булеана есть $2^n$, то в каждом мн-ве не хватает только пустого.

Не только. Еще один элемент $P(P(X)\cup P(Y))$ неправильный.

Xo4y3HaTb в сообщении #1691446 писал(а):

т.к. оно содержится в каждом мн-ве по умолчанию

Нет конечно. Не путайте подмножества с элементами. $\varnothing$ является подмножеством любого множества, но далеко не все содержат его в качестве элементов.

Xo4y3HaTb в сообщении #1691446 писал(а):

я могу расценивать записи $(x, y)$ и $(\lbrace x\rbrace, \lbrace y\rbrace)$ как равносильные?

Нет. $x \neq \{x\}$.

[Xo4y3HaTb]

Увидел ошибку. $x,y$ были в одном мн-ве. $P(P(X)\cup P(Y))=\lbrace \lbrace \lbrace x\rbrace\rbrace , \lbrace \lbrace y\rbrace\rbrace , \lbrace \lbrace x\rbrace, \lbrace y\rbrace\rbrace, \lbrace\lbrace \varnothing\rbrace\rbrace\rbrace$. Понял, т.е.$\varnothing\subset X (\forall X)$, но неверно $\varnothing\in X (\forall X)$ Cпасибо за помощь!

[mihaild]

Xo4y3HaTb в сообщении #1691450 писал(а):

Увидел ошибку. $x,y$ были в одном мн-ве. $P(P(X)\cup P(Y))=\lbrace \lbrace \lbrace x\rbrace\rbrace , \lbrace \lbrace y\rbrace\rbrace , \lbrace \lbrace x\rbrace, \lbrace y\rbrace\rbrace, \lbrace\lbrace \varnothing\rbrace\rbrace\rbrace$.

А если всё же совсем правильно, с учетом пустого множества везде?

[Xo4y3HaTb]

Получается так $P(P(X)\cup P(Y))=\lbrace \lbrace \lbrace x\rbrace\rbrace , \lbrace \lbrace y\rbrace\rbrace, \lbrace\lbrace \varnothing\rbrace\rbrace,\lbrace \lbrace x\rbrace, \lbrace y\rbrace\rbrace, \lbrace \lbrace x\rbrace, \lbrace \varnothing\rbrace\rbrace, \lbrace \lbrace y\rbrace, \lbrace \varnothing\rbrace\rbrace, \lbrace \lbrace x\rbrace, \lbrace y\rbrace, \lbrace \varnothing\rbrace \rbrace, \lbrace \varnothing\rbrace\rbrace$

Раз уж речь зашла о пустом мн-ве, то есть ещё вопрос по теореме Кантора. Верно ли следующее: если $X=\varnothing$, то $P(X)=\lbrace \varnothing, \lbrace \varnothing\rbrace\rbrace$?

[Anton_Peplov]

Xo4y3HaTb в сообщении #1691490 писал(а):

уж речь зашла о пустом мн-ве, то есть ещё вопрос по теореме Кантора. Верно ли следующее: если $X=\varnothing$, то $P(X)=\lbrace \varnothing, \lbrace \varnothing\rbrace\rbrace$?

Для ответа на этот вопрос:
0. Дайте определение подмножества множества $A$ через элементы множества $A$.
1. Перечислите все элементы множества $\{1, 2\}$.
2. Перечислите все подмножества множества $\{1, 2\}$.
3. Перечислите все элементы пустого множества.
4. Перечислите все подмножества пустого множества.

[Xo4y3HaTb]

0. $B\subset A\Leftrightarrow \forall x (x\in B)\Rightarrow (x\in A)$
1.$ 1,2$
2. $\lbrace 1\rbrace,\lbrace 2\rbrace,\lbrace 1, 2\rbrace,\varnothing
3. Ни один эл-т не принадлежит пустому мн-ву, т.е. мн-во элементов пустого мн-ва есть пустое мн-во $\varnothing$
4. Я должен взять подмножества элементов пустого мн-ва т.е. $\lbrace \varnothing\rbrace$ и само пустое мн-во $\varnothing$ т.к. оно является подмножеством любого мн-ва. Т.е. вроде как $P(X)$ задана верно, для пустого $X$.
И получается, если $X=\lbrace x\rbrace$, то $P(X)=\lbrace\lbrace x\rbrace, \varnothing\rbrace$, но не $P(X)=\lbrace\lbrace x\rbrace, \lbrace\varnothing\rbrace\rbrace$ как я думал раньше.
Правильно ли понимаю, что утверждение $\varnothing \subset X (\forall X)$ построено на том, что если $A$ ложно, то импликация $A\Rightarrow B$ истина?

[Anton_Peplov]

Пп. 0-3 - верно.
В п. 4 Вы опять начинаете фантазировать.
Наводящие вопросы:
1. Сколько элементов в множестве $\varnothing$?
2. Сколько элементов в множестве $\{\varnothing\}$? Назовите их.
3. Может ли $\{\varnothing\}$ быть подмножеством $\varnothing$, исходя из п. 0?

[Xo4y3HaTb]

1. 0 элементов
2. один элемент - пустое мн-во.
3. Не может т.к. в таком случае следует, что $\varnothing\in \varnothing$, а это означает, что пустое мн-во содержит себя в кач-ве элемента, т.е. не пусто.
Тогда рассуждаю так: Пусть $X=\varnothing$. $P(X)$ это мн-во всех подмн-в $X$. А подмножества $X$ это мн-ва содержащие эл-ты $X$ и вдобавок пустое мн-во, которое является подмножеством любого мн-ва (в $P(X)$ обозначается как $\varnothing$ ). Но в $X$ нет элементов, а потому и нет мн-в содержащих эл-ты, т.е. нет подмн-в $Х$. Получаем, что все подмн-ва $X$ содержащие эл-ты $X$ есть $\varnothing$ + "добавочное" $\varnothing$. Получаю $P(X)=\varnothing$. Но тогда не выполняется теорема. Значит опять где-то ошибка в рассуждениях.

[Anton_Peplov]

Xo4y3HaTb в сообщении #1691509 писал(а):

2. один элемент - пустое мн-во.

Xo4y3HaTb в сообщении #1691509 писал(а):

Получаю $P(X)=\varnothing$.

Противоречие видите?

[Xo4y3HaTb]

Я не понимаю какова связь между $\lbrace\varnothing\rbrace$ и $P(X)$, если выяснили, что $\lbrace\varnothing\rbrace$ не принадлежит $P(X)$, а $X=\varnothing$

[Anton_Peplov]

Xo4y3HaTb в сообщении #1691511 писал(а):

Я не понимаю какова связь между $\lbrace\varnothing\rbrace$ и $P(X)$

Простая: $P(\varnothing) = \{\varnothing\}$. Попытайтесь понять, почему. И заметьте, что теорема Кантора выполняется.