Veritasium и упорядочивание вещественных чисел

[mimokrokodil]

Вот тут https://youtu.be/Nc8Pxx24f-k?t=785 на 13:05 предложен способ упорядочивания вещественных чисел. Но это же разве не противоречит теореме о несчетности вещественных чисел? Если мы теперь проиндексируем получившееся множество целыми числами вот так: $x_1\to 1$, $x_2\to 2$, ..., $x_\omega\to 0$, $x_{\omega+1} \to -1$, ... и т.д., разве у нас не получится равномощность вещественных целым?

[mihaild]

"Упорядочивание" - в смысле "вполне упорядочивание"?

mimokrokodil в сообщении #1691003 писал(а):

$x_1\to 1$, $x_2\to 2$, ..., $x_\omega\to 0$, $x_{\omega+1} \to -1$

А $x_{\omega + \omega}$ куда?

[B@R5uk]

Это про аксиому выбора? Этих омег там бесконечно много. Даже, если не ошибаюсь, не счётно много, поэтому целых чисел не хватит, чтобы всё перенумеровать.

[mimokrokodil]

mihaild в сообщении #1691006 писал(а):

"Упорядочивание" - в смысле "вполне упорядочивание"?

Да.

mihaild в сообщении #1691006 писал(а):

А $x_{\omega + \omega}$ куда?

B@R5uk в сообщении #1691010 писал(а):

Этих омег там бесконечно много.

А, вот оно что. Про этот момент почему-то в видео умолчали) Тогда да, так немного яснее, спасибо.

[ИСН]

Где имение, а где наводнение? Какая связь между амнезией и мазохизмом упорядочением и счётностью? Вполне упорядочить можно множество любой мощности.

(Видео не смотрел.)

[Padawan]

Теорема Кантора: множество всех последовательностей нулей и единиц несчëтно.
(док-во через диагональный метод Кантора)
Теорема Цермело: любое множество можно вполне упорядочить.
Аксиома выбора (которую Цермело неявно / а может и явно подразумевал в своем доказательстве) : пусть есть функция $f\colon X\to Y$, где $Y\subset 2^Z$ -- некоторое семейство непустых подмножеств множества $Z$. Тогда существует функция $\varphi\colon: X\to Z$ такая, что $\varphi(x) \in f(x) $ для любого $x\in X$.

-- Ср июн 18, 2025 21:18:56 --

И аксиома выбора, очевидно, следует из теоремы Цермело: ибо если множество $Z$ вполне упорядочено, то положим $ \varphi (x) =\text{наименьший элемент в } f(x) $