Есть ли смысл говорить об экспоненциальном росте на отрезке

[Theoristos]

Ende в сообщении #1689120 писал(а):

Юмор отделен.

(Оффтоп)

ну вот теперь можно и в Пургаторий

[Ghost_of_past]

drzewo в сообщении #1689088 писал(а):

Которая из этих функций растет быстрее?

Ну, если я не ошибаюсь, то асимптотически обе функции растут одинаково быстро, поскольку множители перед экспонентой не влияют на скорость роста самой экспоненты.

Теперь надеюсь, что Вы ответите на мой вопрос:

Ghost_of_past в сообщении #1689012 писал(а):

Я правильно понимаю, что по такой логике прогрессивная интеллигенция и прочие специалисты в биохимии и сравнительной геномике срочно должны перестать пользоваться моделью relaxed molecular clocks, раз в ее математической аппарате $t$ аж вообще до $-\infty$?

[drzewo]

Ghost_of_past в сообщении #1689922 писал(а):

Ну, если я не ошибаюсь, то асимптотически обе функции растут одинаково быстро, поскольку множители перед экспонентой не влияют на скорость роста самой экспоненты

Я специально поставил некорректный вопрос. Например, условиям, что я там написал удовлетворяют функции $x(t)=\cos t,\quad y(t)=\sin t$. Сравнивать их рост при $t\to\infty$ ни в каком разумном смысле неприлично. Не говоря уже о том, что запись $O(2e^t)$ выглядит странно, мягко говоря.

Ghost_of_past в сообщении #1689922 писал(а):

Теперь надеюсь, что Вы ответите на мой вопрос:

Вам на этот вопрос там выше уже ответили: неправильно понимаете.

[slavav]

Запись $O(2e^t)$ выглядит не более странно чем $\frac{2}{4}$. Обе записи математически корректны. Обе записи можно упростить.

А "экспоненциальный рост" вовсе не означает ужасно быстрый рост. Экспоненциальный рост буквально означает что при изменении аргумента на константу, значение функции меняется в константу раз: $f(x + c) = Cf(x)$. А быстро это или медленно можно узнать только имея дополнительные сведения: длину отрезка и величину функции в какой-то его точке.

[dsge]

slavav в сообщении #1690324 писал(а):

А "экспоненциальный рост" вовсе не означает ужасно быстрый рост.

"Экспоненциальный рост" означает, что он "бъет" любой полиномиальный (степенной) рост при росте аргумента $x \to \pm\infty$. Это существенное требование, например, при определении пространства основных функций в теории обобщенных функций по Гельфанду.

[drzewo]

Я вообще не понимаю, какой смысл реанимировать этот разговор. То что в математическом обиходе термин "экспоненциальный рост" не применяется к функциям определенным на отрезке уже выяснили.

[slavav]

dsge в сообщении #1690329 писал(а):

"Экспоненциальный рост" означает, что он "бъет" любой полиномиальный (степенной) рост при росте аргумента $x \to \pm\infty$. ...

Это только одно из следствий "экспоненциального роста". Сама показательная форма функции может быть полезна и при анализе на конечных отрезках.

[dsge]

slavav в сообщении #1690332 писал(а):

Сама показательная форма функции может быть полезна и при анализе на конечных отрезках.

Бесспорно, но топик о другом.

[slavav]

drzewo в сообщении #1690331 писал(а):

Я вообще не понимаю, какой смысл реанимировать этот разговор. То что в математическом обиходе термин "экспоненциальный рост" не применяется к функциям определенным на отрезке уже выяснили.

Я применяю понятие "экспоненциальный рост" при анализе времени работы алгоритмов для вполне конечных аргументов. Сперва вы измеряете время работы программы в нескольких точках. Делаете регрессию. Если показательная функция хорошо приближает, делаете оценки времени работы для требуемых аргументов. Если время не приемлемо, ищете другой алгоритм. "Экспоненциальный рост" в данном случае означает что функция для небольших аргументов ведёт себя как показательная.

Это наверное не "высокая математика", но вполне конкретное применение этого понятия для получения результата.

[dsge]

slavav в сообщении #1690334 писал(а):

Я применяю понятие "экспоненциальный рост" при анализе времени работы алгоритмов для вполне конечных аргументов.

В теории алгоритмов, кстати, P=NP, где Р тоже стремится к бесконечности (растет), медленнее, чем экспонента. Т.е. неэкспоненциальный рост.

[drzewo]

slavav
я Вам сейчас выскажу свое мнение, почему нам действительно не удалось найти в математической литературе примера применения термина "экспоненциальный рост" к функции определенной на отрезке.
Либо Вы имеете дело с функцией, которая является экспонентой и тогда так и говорите: "у меня экспонента", зачем говорить "у меня функция экспоненциального роста"?
Либо Вы приближаете экспонентой какую-то функцию, которая экспонентой не является. Причем приближаете с конечной точностью -- иначе это была бы экспонента. Но дело в том, что на отрезке саму экспоненту можно равномерно приблизить, например, полиномами с любой точностью. И получается, что говорить, что функция экспоненциального роста не больше оснований чем говорить, что она полиномиального роста.

[realeugene]

Математик падает со стула бесконечно долго - принято.

А функций, линейных на отрезке, тоже нет? И линеаризация - вообще противоматематическая фигня? В любом случае, не сомневаюсь, что даже ТС сможет на практике отличить экспоненту от полинома, пронаблюдав за порядка 20 постоянными времени динамики системы вблизи точки устойчивого или, наоборот, неустойчивого равновесия.

[dsge]

realeugene в сообщении #1690340 писал(а):

И линеаризация - вообще противоматематическая фигня?

Экспоненциальный рост как раз и есть следствие линеаризации. См. любой учебник по дифференциальным уравнениям.

[Ende]

realeugene
Вынужден повторить: если Вы считаете, что обсуждаемые терминологические тонкости не стоят обсуждения, просто не участвуйте в нем. Вашу позицию все поняли.

[Anton_Peplov]

realeugene в сообщении #1690340 писал(а):

В любом случае, не сомневаюсь, что даже ТС сможет на практике отличить экспоненту от полинома, пронаблюдав за порядка 20 постоянными времени динамики системы вблизи точки устойчивого или, наоборот, неустойчивого равновесия.

Это потому, что на практике не встречаются полиномы по-настоящему высоких степеней. Но тема же не про практику, а про математическую корректность.