Неравенство треугольника

[Gecko]

Дано определение расстояния между двумя точками в евклидовой плоскости: $\rho(A_1, A_2) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$
Предлагается доказать неравенство треугольника для любых трех точек в евклидовой плоскости: $\rho(A_1, A_3) \leqslant \rho(A_1, A_2) + \rho(A_2, A_3)$
Как бы это доказать? Пробовал возведение в квадрат, домножение на сопряженное выражение. Не получилось.

[TOTAL]

$ \sqrt{(a_1 + a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2} \le ? \sqrt{a_1^2 + b_1^2} +\sqrt{a_2^2 + b_2^2} $
1. Возводите в квадрат.
2. Потом ещё раз в квадрат.

[skobar]

Тоже самое, но более элегантным способом:
Запишите $\sqrt{a^2+b^2}$ как

$\max\limits_{x^2+y^2=1}(ax+by)$

(это легко выводится из неравенства Коши-Буняковского) и воспользуйтесь неравенством между максимумом суммы и суммой максимумов.

[Gecko]

TOTAL в сообщении #1686468 писал(а):

$ \sqrt{(a_1 + a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2} \le ? \sqrt{a_1^2 + b_1^2} +\sqrt{a_2^2 + b_2^2} $
1. Возводите в квадрат.
2. Потом ещё раз в квадрат.

Дошел до $\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_3^2+y_3^2)} \leqslant? \ x_2^2+y_2^2-(x_1x_2+y_1y_2+x_2x_3+y_2y_3)$.
Дальше что-то не пойму, что делать.

[drzewo]

учебник открывать не пробовали?

[Gecko]

drzewo в сообщении #1686546 писал(а):

учебник открывать не пробовали?

Буду рад, если подскажете, какой именно.

[skobar]

Gecko в сообщении #1686542 писал(а):

TOTAL в сообщении #1686468 писал(а):

$ \sqrt{(a_1 + a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2} \le ? \sqrt{a_1^2 + b_1^2} +\sqrt{a_2^2 + b_2^2} $
1. Возводите в квадрат.
2. Потом ещё раз в квадрат.

Дошел до $\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_3^2+y_3^2)} \leqslant? \ x_2^2+y_2^2-(x_1x_2+y_1y_2+x_2x_3+y_2y_3)$.
Дальше что-то не пойму, что делать.

А что непонятно в предложенном выше способе через максимумы? Самое простое и короткое доказательство imho.

[drzewo]

Gecko в сообщении #1686547 писал(а):

Буду рад, если подскажете, какой именно.

школьный по геометрии

[Gecko]

skobar в сообщении #1686550 писал(а):

А что непонятно в предложенном выше способе через максимумы? Самое простое и короткое доказательство imho.

Да я просто вот эту запись не понимаю:
$\max\limits_{x^2+y^2=1}(ax+by)$

-- 19.05.2025, 23:29 --

drzewo в сообщении #1686553 писал(а):

Gecko в сообщении #1686547 писал(а):

Буду рад, если подскажете, какой именно.

школьный по геометрии

Хочется алгебраически доказать, без привлечения геометрии.

[skobar]

Gecko в сообщении #1686558 писал(а):

Да я просто вот эту запись не понимаю:
$\max\limits_{x^2+y^2=1}(ax+by)$

При фиксированных $a$ и $b$ берется максимум выражения $ax+by$ по всем парам чисел $x$, $y$, удовлетворяющих условию $x^2+y^2=1$. Как легко понять, такой максимум будет в точности равен $\sqrt{a^2+b^2}$ (по неравенству Коши-Буняковского это будет верхней границей, ну и равенство, очевидно, достигается)

Неравенство Коши-Буняковского использовать можно? Оно вроде в школе проходится. Если нельзя, то пишете стандартное простенькое доказательство оного через неположительность дискриминанта неотрицательной квадратной функции - это доказательство есть везде.

[drzewo]

$(x,y):=\sum x_ky_k,\quad x=(x_1,\ldots,x_m),\quad y=(y_1,\ldots,y_m),\quad |x|^2:=(x,x)$

$$0\le (x-ty,x-ty)=t^2|y|^2-2t(x,y)+|x|^2.$$

Значит дискриминант этого квадратного трехчлена должен быть неположительным:

$$D=4(x,y)^2-4|x|^2|y|^2\le 0\Longrightarrow |(x,y)|\le |x|\cdot|y|$$

а дальше просто

$$|x+y|^2\le |x|^2+2(x,y)+|y|^2\le |x|^2+2|x||y|+|y|^2=(|x|+|y|)^2 $$

[TOTAL]

Gecko в сообщении #1686542 писал(а):

TOTAL в сообщении #1686468 писал(а):

$ \sqrt{(a_1 + a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2} \le ? \sqrt{a_1^2 + b_1^2} +\sqrt{a_2^2 + b_2^2} $
1. Возводите в квадрат.
2. Потом ещё раз в квадрат.

Дошел до $\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_3^2+y_3^2)} \leqslant? \ x_2^2+y_2^2-(x_1x_2+y_1y_2+x_2x_3+y_2y_3)$.
Дальше что-то не пойму, что делать.

Сначала представьте выражение в предложенном виде. Потом уже доходите до чего-нибудь.

[Padawan]

Gecko
Неравенсто Коши-Буняковского следует также из формулы

$$ (x_1^2+x_2^2)(y_1^2+y_2^2)-(x_1y_1+x_2y_2)^2=(x_1y_2-x_2y_1)^2 $$

[Gecko]

TOTAL в сообщении #1686580 писал(а):

Сначала представьте выражение в предложенном виде. Потом уже доходите до чего-нибудь.

$2a_1a_2b_1b_2 \leqslant a_1^2b_2^2+b_1^2a_2^2$

[TOTAL]

Gecko в сообщении #1686591 писал(а):

TOTAL в сообщении #1686580 писал(а):

Сначала представьте выражение в предложенном виде. Потом уже доходите до чего-нибудь.

$2a_1a_2b_1b_2 \leqslant a_1^2b_2^2+b_1^2a_2^2$

Квадрат разности не замечаете (если в правую часть всё перенести)?