Неравенство треугольника

[Gecko]

TOTAL в сообщении #1686594 писал(а):

Квадрат разности не замечаете (если в правую часть всё перенести)?

Ну да, заметил. Я еще удивился, зачем нужно это двойное возведение в квадрат, если то же самое можно легче вывести из квадрата разности.

[Gecko]

Всем спасибо!

$a = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
$b = \sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}$
$c = \sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$

Нужно доказать, что $c \leqslant a+b$.

$a_1 = \dfrac{x_2-x_1}{a}; \ a_2 = \dfrac{y_2-y_1}{a}; \ b_1 = \dfrac{x_3-x_2}{b}; \ b_2 = \dfrac{y_3-y_2}{b}$

$a_1^2+a_2^2 = 1; \ b_1^2+b_2^2 = 1$

Коши-Буняковский:

$$(a_1b_1+a_2b_2)^2 \leqslant (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)=1 \Rightarrow a_1b_1+a_2b_2 \leqslant 1 \Leftrightarrow (x_2-x_1)(x_3-x_2)+(y_2-y_1)(y_3-y_2) \leqslant ab \ (1)$$

Тогда

$$c^2=(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2=((x_3-x_2)+(x_2-x_1))^2+((y_3-y_2)+(y_2-y_1))^2 \overset{(1)}{\to } c^2 \leqslant a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$