Кокасательное пространство Зарисского

[OlgaD]

Не могу понять определение кокасательного пространства Зарисского как факторпространства $\mathfrak{m}_a/\mathfrak{m}_a^2$. Здесь (если я правильно поняла) за $\mathfrak{m}_a$ обозначается векторное пространство всех функциональных ростков, которые равны нулю в точке $a,$ а за $\mathfrak{m}^2_a\subset\mathfrak{m}_a$ --- векторное подпространство тех функциональных ростков, которые имеют в точке $a$ нуль второго порядка, т.е. каждый такой росток представляется функцией $f,$ производная которой также равна нулю в точке $a.$
В частности, дифференциал функции $f$ в точке $a$ определяется как элемент

$$d_af:=(f-f(a))\mod\mathfrak{m}_a^2.$$

Очевидно, что функция $f-f(a)$ обращается в нуль в точке $a,$ т.е. представляет некоторый росток из $\mathfrak{m}_a.$ Далее не совсем понятно: "Его класс вычетов по модулю $\mathfrak{m}_a^2$ и есть по определению, $d_af.$"
Интуитивно понимаю, что "подбираемся" к линейной части приращения функции и в голову приходит ряд Тейлора функции $f$ в точке $a.$ Помогите разобраться, пожалуйста.

[dgwuqtj]

OlgaD в сообщении #1686343 писал(а):

за $\mathfrak{m}^2_a\subset\mathfrak{m}_a$ --- векторное подпространство тех функциональных ростков, которые имеют в точке $a$ нуль второго порядка, т.е. каждый такой росток представляется функцией $f,$ производная которой также равна нулю в точке $a.$

Так формулировать странно, ведь само определение производной (дифференциала) опирается на $\mathfrak m_a^2$. А "порядок" нуля имеет смысл только в гладком случае, по крайней мере, если пытаться копировать определение из дифференциальной геометрии.

Возьмём для примера плоскость $\mathbb A^2$ с точкой $a = (0, 0)$. Локальное кольцо в этой точке состоит из формальных степенных рядов от двух переменных $x$ и $y$, которые представляются в виде рациональной функции. Идеал $\mathfrak m_a$ порождён рядами, обнуляющимися в нуле, т.е. многочленами $x$ и $y$ (это неочевидный момент), а его квадрат — многочленами $x^2$, $xy$ и $y^2$. Тогда дифференциал ряда $f_{00} + f_{10} x + f_{01} y + f_{20} x^2 + f_{11} x y + f_{02} y^2 + \ldots$ — это буквально $f_{10} x + f_{01} y$.

[OlgaD]

dgwuqtj в сообщении #1686345 писал(а):

OlgaD в сообщении #1686343 писал(а):

за $\mathfrak{m}^2_a\subset\mathfrak{m}_a$ --- векторное подпространство тех функциональных ростков, которые имеют в точке $a$ нуль второго порядка, т.е. каждый такой росток представляется функцией $f,$ производная которой также равна нулю в точке $a.$

Идеал $\mathfrak m_a^2$ порождён рядами, обнуляющимися в нуле, т.е. многочленами $x$ и $y$ (это неочевидный момент), а его квадрат — многочленами $x^2$, $xy$ и $y^2$. Тогда дифференциал ряда $f_{00} + f_{10} x + f_{01} y + f_{20} x^2 + f_{11} x y + f_{02} y^2 + \ldots$ — это буквально $f_{10} x + f_{01} y$.

Возможно, имелось в виду: Идеал $\mathfrak{m}_a$ порожден рядами, обнуляющимися в нуле..., а его квадрат (т.е. $\mathfrak{m}^2_a$) ... Описание, почти дословное, взято из книги Форстера Римановы поверхности. Насколько я понимаю, он описывает кокасательное пространство Зарисского и его элемент - дифференциал функции $f$ в точке $a.$ Функция предполагается дифференцируемой.

Определение порядка нуля у него звучит следующим образом: Говорят, что росток $\varphi\in\mathfrak{m}_a$ имеет нуль второго порядка, если он представляется функцией $f,$ которая относительно координатной окрестности $(U,z=x+iy)$ точки $a$ удовлетворяет условию

$$\frac{\partial f}{\partial x}(a)=\frac{\partial f}{\partial y}(a)=0.$$

По-моему, нормальное определение.

[dgwuqtj]

OlgaD в сообщении #1686360 писал(а):

Возможно, имелось в виду: Идеал $\mathfrak{m}_a$ порожден рядами, обнуляющимися в нуле..., а его квадрат (т.е. $\mathfrak{m}^2_a$) ...

Спасибо, это опечатка.

Я сначала подумал, что речь идёт про алгебраическую геометрию, а у вас гладкие многообразия, там с порядками нулей всё хорошо. В любом случае всё это упирается в лемму Адамара, у неё есть и чисто алгебраическая версия. Если эту лемму применить дважды, то получится, что $f(x, y) = f(0, 0) + x f'_x(0, 0) + y f'_y(0, 0) + x^2 a(x, y) + x y b(x, y) + y^2 c(x, y)$ для некоторых гладких функций $a$, $b$, $c$, ну и эти три последних слагаемых лежат в идеале $\mathfrak m_{(0, 0)}^2$. В других размерностях аналогично.

[OlgaD]

Меня сбивает с толку отсылка к классу вычетов. Правильно ли я понимаю, что переход к классам вычетов по модулю $\mathfrak{m}^2_a$ фактически означает отбрасывание слагаемых, в которых функция имеет нуль порядка выше 1? Т.е. в Вашем примере $f(x,y)-f(0,0)\in\mathfrak{m}_{(0,0)},$ а $xf'_x(0,0)+yf'_y(0,0)\in\mathfrak{m}_{(0,0)}/\mathfrak{m}^2_{(0,0)}?$ Меня заклинило на определении класса вычетов.

[dgwuqtj]

Да, всё правильно.

[OlgaD]

Спасибо за помощь.